Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é definida de três jeitos diferentes, dependendo do valor de . O exercício pede para a gente descobrir qual é o conjunto de resultados possíveis dessa função quando é um número real positivo (). Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte da função funciona e quais valores ela pode gerar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual parte da função g(x)= x^3-2, & se x <= 0 raizx+1, & se 0 < x <= 2 1x-2, & se x > 2 é usada quando é positivo. Olhando para a definição:
Como estamos considerando positivo, temos duas situações:
Quando : aqui, a função é .
Quando : aqui, a função é .
Vamos analisar cada uma dessas partes separadamente.
Passo 3
Primeira parte: com
Queremos ver quais valores de são possíveis nessa faixa de .
No menor valor de nessa faixa, se aproxima de 0, então se aproxima de 1, e .
No maior valor, , então , e .
Portanto, nessa parte, varia de 1 a aproximadamente 1,732.
Segunda parte: com
Vamos ver os valores que pode assumir aqui.
Conforme se aproxima de 2 pelo lado direito (como 2,0001), se aproxima de 0 positivo, então fica bem grande, tendendo ao infinito.
Conforme aumenta, cresce e diminui, aproximando-se de 0.
Então, nessa parte, começa muito grande e vai diminuindo até se aproximar de 0, mas nunca chega a 0.
Passo 4
Agora, vamos juntar os resultados das duas partes para encontrar .
Da primeira parte (): varia de 1 a aproximadamente 1,732.
Da segunda parte (): varia de 0 a infinito (não incluindo 0).
Portanto, o conjunto completo de valores que pode assumir quando é positivo é de 0 a infinito, mas começando logo acima de 0.