Encontre os autovalores da matriz A.

Passo 1

Beleza! A gente vai encontrar os autovalores da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar usar determinantes e resolver uma equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores. Dado uma matriz , um número é um autovalor se existe um vetor não nulo tal que . Para encontrar esses , a gente precisa resolver a equação característica, que é , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz A = 2 & 1 1 & 2 . Se a matriz I = 1 & 0 0 & 1 for, por exemplo:
lambda I = lambda & 0 0 & lambda
Então, a matriz identidade A - lambda I = 2 - lambda & 1 1 & 2 - lambda de mesma dimensão é:
Assim, é:
Portanto, fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A - lambda I) = (2 - lambda)(2 - lambda) - (1)(1) = (2 - lambda)^2 - 1 :

Passo 5

A equação característica é igualada a zero:
(2 - lambda)^2 - 1 = 0
Vamos resolver:
(2 - lambda)^2 = 1 Rightarrow 2 - lambda = pm 1
Então, temos duas soluções:

Resposta

Os autovalores da matriz são e .

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