Determine se o conjunto é um subespaço de com as operações usuais. Justifique sua resposta. e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o conjunto é um subespaço de . Isso envolve entender os conceitos de subespaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas usando álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, o que é um subespaço? Um subespaço de precisa satisfazer três condições:
Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
Fechado na adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em e somar, o resultado também deve estar em .
Fechado na multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor em por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .
Passo 3
1. Verificar se o vetor zero está em :
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence a :
Sim, porque e são números reais. Portanto, o vetor zero está em .
Passo 4
2. Verificar se é fechado na adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em :
Agora, somamos esses vetores:
Precisamos verificar se está em . Claro que está, porque e são números reais. Logo, é fechado na adição.
Passo 5
3. Verificar se é fechado na multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em e multiplicar por um escalar :
Precisamos verificar se está em . Sim, porque e são números reais. Portanto, é fechado na multiplicação por escalar.
Resposta
Como contém o vetor zero, é fechado na adição e na multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .