Determine se o conjunto W é um subespaço de R^3 com as operações usuais. Justifique sua resposta. W=(0, x2, x3) mid x2 in R e x3 in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o conjunto é um subespaço de . Isso envolve entender os conceitos de subespaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas usando álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, o que é um subespaço? Um subespaço de precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor deve estar em .
  2. Fechado na adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em e somar, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado na multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor em por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Verificar se o vetor zero está em (0,0,0) in W ? :
O vetor zero em é . Vamos ver se ele pertence a :
Sim, porque e são números reais. Portanto, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificar se u = (0, a, b) é fechado na adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em v = (0, c, d) :
u + v = (0 + 0, a + c, b + d) = (0, a + c, b + d)
Agora, somamos esses vetores:
Precisamos verificar se está em . Claro que está, porque e são números reais. Logo, é fechado na adição.

Passo 5

3. Verificar se u = (0, a, b) é fechado na multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em ku = (0 cdot k, a cdot k, b cdot k) = (0, ka, kb) e multiplicar por um escalar :
Precisamos verificar se está em . Sim, porque e são números reais. Portanto, é fechado na multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado na adição e na multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

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