Determine se o conjunto
é um subespaço de
com as operações usuais. Justifique sua resposta.
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir se o conjunto
é um subespaço de
. Isso envolve entender os conceitos de subespaço vetorial e verificar algumas propriedades básicas usando álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, o que é um subespaço? Um subespaço de
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado na adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em
e somar, o resultado também deve estar em . - Fechado na multiplicação por escalar: Se você multiplicar qualquer vetor em
por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Verificar se o vetor zero está em
:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele pertence a
:
Sim, porque
e
são números reais. Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificar se
é fechado na adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
:
Agora, somamos esses vetores:
Precisamos verificar se
está em
. Claro que está, porque
e
são números reais. Logo,
é fechado na adição.
Passo 5
3. Verificar se
é fechado na multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer em
e multiplicar por um escalar
:
Precisamos verificar se
está em
. Sim, porque
e
são números reais. Portanto,
é fechado na multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado na adição e na multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.