(8 pontos) Mostre que r:c x=1+t y=-2+2 t z=2+2 t s:c x=2+2 t y=5+3 t z=5+t são retas reversas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas retas no espaço tridimensional, chamadas x = 1 + t y = -2 + 2t z = 2 + 2t e x = 2 + 2t y = 5 + 3t z = 5 + t , definidas pelas seguintes equações paramétricas:
Para a reta :
Para a reta :
A questão pede para mostrar que essas duas retas são retas reversas, ou seja, que elas não são paralelas e não se intersectam. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações paramétricas de reta e como compará-las para verificar paralelismo e interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor de uma reta é o vetor que indica a direção em que a reta está se estendendo. Nas equações paramétricas, os coeficientes de Vetor diretor dr = 1 2 2 correspondem aos componentes do vetor diretor.
Para a reta Vetor diretor ds = 2 3 1 :
Para a reta :

Passo 3

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se seus vetores diretores são múltiplos escalares um do outro. Ou seja, existe um número dr = k cdot ds tal que:
1 = 2k 2 = 3k 2 = 1k
Vamos ver se isso é possível:
k = 12
Resolvendo a primeira equação:
2 = 3 cdot 12 Rightarrow 2 = 32 (não é verdadeira)
Verificando a segunda equação com :
ãé
Como não existe um único que satisfaça todas as equações, os vetores diretores não são múltiplos escalares. Portanto, as retas e não são paralelas.

Passo 4

Agora, vamos verificar se as retas se intersectam. Para isso, precisamos encontrar valores de 1 + t = 2 + 2s -2 + 2t = 5 + 3s 2 + 2t = 5 + s e 1 + t = 2 + 2s Rightarrow t = 1 + 2s (os parâmetros das retas -2 + 2(1 + 2s) = 5 + 3s -2 + 2 + 4s = 5 + 3s 4s = 5 + 3s s = 5 e t = 1 + 2(5) = 11 ) que satisfaçam simultaneamente as equações das retas.
Igualando as equações das retas 2 + 2(11) = 5 + 5 24 = 10 (não é verdadeira) e :
Vamos resolver esse sistema de equações.
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituindo na expressão de :
Vamos verificar na terceira equação:
ãé
Como não encontramos valores de e que satisfaçam todas as três equações simultaneamente, as retas e não se intersectam.

Resposta

As retas e são retas reversas, pois não são paralelas e não se intersectam.

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