Seja
uma função e sejam
e
. Mostre que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função
e subconjuntos
e
. O que a gente precisa mostrar é que o pré-imagem da diferença entre
e
é igual à diferença entre os pré-imagens de
e
. Ou seja, provar que:
Para isso, vamos usar conceitos de funções e operações com conjuntos, como união, interseção e diferença.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. O pré-imagem de um conjunto
pela função
é o conjunto de todos os elementos em
que
mapeia para algum elemento em
. Formalmente:
O mesmo vale para
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade que queremos provar:
. A diferença
é o conjunto de elementos que estão em
mas não em
. Então:
Passo 4
Já o lado direito da igualdade é
. Isso significa todos os elementos que estão no pré-imagem de
mas não no pré-imagem de
. Ou seja:
Passo 5
Observamos que as descrições de
e
resultam no mesmo conjunto:
Portanto, os dois conjuntos são iguais.
Resposta
Concluímos que:
Exercícios relacionados
Seja
uma função e sejam
e
subconjuntos de
. Mostre que:
é bijetora se, e somente se,
para todo
. (Aqui
é o complementar de
em relação à
.)
Seja
uma função e sejam
e
subconjuntos de
. Mostre que:
Mostre que se é bijetora, então
.
Mostre que se
Determine se o conjunto
é um subespaço de
com as operações usuais. Justifique sua resposta.
e
(8 pontos) Mostre que
são retas reversas.