Seja f: A B uma função e sejam P subseteq A e X, Y subseteq B. Mostre que:
f^-1(X-Y)=f^-1(X)-f^-1(Y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função f^-1(X - Y) = f^-1(X) - f^-1(Y) e subconjuntos e . O que a gente precisa mostrar é que o pré-imagem da diferença entre e é igual à diferença entre os pré-imagens de e . Ou seja, provar que:
Para isso, vamos usar conceitos de funções e operações com conjuntos, como união, interseção e diferença.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa f^-1(X) = a in A mid f(a) in X . O pré-imagem de um conjunto pela função é o conjunto de todos os elementos em que mapeia para algum elemento em . Formalmente:
O mesmo vale para .

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade que queremos provar: f^-1(X - Y) = a in A mid f(a) in X - Y = a in A mid f(a) in X e f(a) notin Y . A diferença é o conjunto de elementos que estão em mas não em . Então:

Passo 4

Já o lado direito da igualdade é f^-1(X) - f^-1(Y) = a in A mid f(a) in X - a in A mid f(a) in Y = a in A mid f(a) in X e f(a) notin Y . Isso significa todos os elementos que estão no pré-imagem de mas não no pré-imagem de . Ou seja:

Passo 5

Observamos que as descrições de a in A mid f(a) in X e f(a) notin Y e resultam no mesmo conjunto:
Portanto, os dois conjuntos são iguais.

Resposta

Concluímos que:
f^-1(X - Y) = f^-1(X) - f^-1(Y)

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