Determine se o conjunto W é um subespaço de R^3 com as operações usuais. Justifique sua resposta. W=(a, a-3 b, b) mid a in R e b in R

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Queremos descobrir se o conjunto é um subespaço de com as operações normais de adição e multiplicação por escalar. Para isso, precisamos lembrar que, para ser um subespaço, ele precisa satisfazer três condições: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em ( a, a - 3b, b ) = (0, 0, 0) . O vetor zero em a = 0 a - 3b = 0 b = 0 é . Para que esteja em , devemos encontrar valores de e que satisfaçam:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, vemos que e , o que satisfaz todas as equações. Logo, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se u + v = (a1 + a2, (a1 - 3b1) + (a2 - 3b2), b1 + b2) é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em u + v = (a1 + a2, (a1 + a2) - 3(b1 + b2), b1 + b2) , a soma deles também deve estar em . Considere dois vetores e em . A soma deles é:
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como , onde e . Portanto, também está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se c u = (c a, c(a - 3b), c b) é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor em c u = (c a, c a - 3c b, c b) e multiplicarmos por um número real , o resultado também deve estar em . Considere um vetor em e um escalar . A multiplicação por dá:
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como , onde e . Portanto, também está em .

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de com as operações usuais.

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