Determine se o conjunto é um subespaço de com as operações usuais. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Queremos descobrir se o conjunto é um subespaço de com as operações normais de adição e multiplicação por escalar. Para isso, precisamos lembrar que, para ser um subespaço, ele precisa satisfazer três condições: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Para que esteja em , devemos encontrar valores de e que satisfaçam:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, vemos que e , o que satisfaz todas as equações. Logo, o vetor zero está em .
Passo 3
Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em . Considere dois vetores e em . A soma deles é:
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como , onde e . Portanto, também está em .
Passo 4
Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor em e multiplicarmos por um número real , o resultado também deve estar em . Considere um vetor em e um escalar . A multiplicação por dá:
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como , onde e . Portanto, também está em .
Resposta
Sim, o conjunto é um subespaço de com as operações usuais.