Determine se o conjunto
é um subespaço de
com as operações usuais. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. Queremos descobrir se o conjunto
é um subespaço de
com as operações normais de adição e multiplicação por escalar. Para isso, precisamos lembrar que, para
ser um subespaço, ele precisa satisfazer três condições: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Para que
esteja em
, devemos encontrar valores de
e
que satisfaçam:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo, vemos que
e
, o que satisfaz todas as equações. Logo, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
. Considere dois vetores
e
em
. A soma deles é:
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como
, onde
e
. Portanto,
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer vetor em
e multiplicarmos por um número real
, o resultado também deve estar em
. Considere um vetor
em
e um escalar
. A multiplicação por
dá:
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como
, onde
e
. Portanto,
também está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
com as operações usuais.