(8 pontos) Determine a distância entre alpha e beta. Qual é a distância entre r:c x=1+t y=-2+2 t z=2+2 t s:c x=2+2 t y=5+3 t z=5+t ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a distância entre as retas e . Isso envolve conceitos de geometria analítica, especificamente o cálculo da distância entre duas retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar das equações paramétricas das duas retas e usar vetores para determinar a distância mínima entre elas.

Passo 2

Vamos começar identificando as equações paramétricas das retas x = 1 + t y = -2 + 2t z = 2 + 2t e x = 2 + 2t y = 5 + 3t z = 5 + t :
Para a reta :
Para a reta :
Aqui, é o parâmetro para ambas as retas.

Passo 3

Agora, vamos extrair os vetores diretor das retas u = 1 2 2 e v = 2 3 1 . O vetor diretor de uma reta é dado pelos coeficientes que acompanham o parâmetro em suas equações paramétricas.
Para a reta , o vetor diretor é:
Para a reta , o vetor diretor é:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar um vetor que vá de um ponto na reta AB = 2 - 1 5 - (-2) 5 - 2 = 1 7 3 para um ponto na reta . Podemos escolher os pontos correspondentes quando :
Ponto na reta :
Ponto na reta :
Então, o vetor é:

Passo 5

Para encontrar a distância entre as retas d = |u times v cdot AB||u times v| e , usamos a fórmula da distância entre duas retas no espaço:
Aqui, representa o produto vetorial e o produto escalar.

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial u times v = i & j & k 1 & 2 & 2 2 & 3 & 1 = i(2 cdot 1 - 2 cdot 3) - j(1 cdot 1 - 2 cdot 2) + k(1 cdot 3 - 2 cdot 2) :
u times v = i(-4) - j(-3) + k(-1) = -4 3 -1

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar u times v cdot AB = (-4)(1) + (3)(7) + (-1)(3) = -4 + 21 - 3 = 14 :

Passo 8

Em seguida, calculamos o módulo do produto vetorial |u times v| = raiz(-4)^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz16 + 9 + 1 = raiz26 :

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = |u times v cdot AB||u times v| = 14raiz26 = 14raiz2626 = 7raiz2613

Resposta

A distância entre as retas e é unidades.

Exercícios relacionados

Determine se o conjunto W é um subespaço de R^3 com as operações usuais. Justifique sua resposta. W=(a, a-3 b, b) mid a in R e b in R
(8 pontos) Mostre que r:c x=1+t y=-2+2 t z=2+2 t s:c x=2+2 t y=5+3 t z=5+t são retas reversas.
Seja f: A B uma função e sejam P subseteq A e X, Y subseteq B. Mostre que:
$f\left(f^{-1}(X)\right)=X \cap
(8 pontos) Determine equações para os planos paralelos alpha e beta que contêm r:c x=1+t y=-2+2 t z=2+2 t s:c x=2+2 t y=5+3 t z=5+t , respectivamente.