Seja uma função e sejam e . Mostre que:
$f\left(f^{-1}(X)\right)=X \cap
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e subconjuntos e . O objetivo é mostrar que:
Aqui, estamos trabalhando com funções, imagens e pré-imagens. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa aplicar uma função e sua pré-imagem a um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a pré-imagem de um conjunto. A pré-imagem de por , denotada por , é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para algum elemento de . Matematicamente:
Ou seja, pegamos todos os em que, quando aplicamos , caem dentro de .
Passo 3
Agora, vamos aplicar a função ao conjunto . Isso significa que estamos pegando cada elemento em e mapeando de volta para :
Como implica que , estamos basicamente pegando todos os que já estão em .
Passo 4
Agora, queremos relacionar isso com a imagem de . A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os para . Portanto, está pegando os elementos de que também estão na imagem de :
Isso mostra que ao aplicar na pré-imagem de , obtemos exatamente a parte de que está na imagem de .