Seja
uma função e sejam
e
. Mostre que:
$f\left(f^{-1}(X)\right)=X \cap
$f\left(f^{-1}(X)\right)=X \cap
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e subconjuntos
e
. O objetivo é mostrar que:
Aqui, estamos trabalhando com funções, imagens e pré-imagens. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa aplicar uma função e sua pré-imagem a um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a pré-imagem de um conjunto. A pré-imagem de
por
, denotada por
, é o conjunto de todos os elementos em
que são mapeados para algum elemento de
. Matematicamente:
Ou seja, pegamos todos os
em
que, quando aplicamos
, caem dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a função
ao conjunto
. Isso significa que estamos pegando cada elemento
em
e mapeando de volta para
:
Como
implica que
, estamos basicamente pegando todos os
que já estão em
.
Passo 4
Agora, queremos relacionar isso com a imagem de
. A imagem de
, denotada por
, é o conjunto de todos os
para
. Portanto,
está pegando os elementos de
que também estão na imagem de
:
Isso mostra que ao aplicar
na pré-imagem de
, obtemos exatamente a parte de
que está na imagem de
.
Resposta
Portanto, demonstramos que: