Seja f: A B uma função e sejam P subseteq A e X, Y subseteq B. Mostre que:
$f\left(f^{-1}(X)\right)=X \cap

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função f(f^-1(X)) = X cap Im(f) e subconjuntos e . O objetivo é mostrar que:
Aqui, estamos trabalhando com funções, imagens e pré-imagens. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa aplicar uma função e sua pré-imagem a um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a pré-imagem de um conjunto. A pré-imagem de f^-1(X) = a in A mid f(a) in X por , denotada por , é o conjunto de todos os elementos em que são mapeados para algum elemento de . Matematicamente:
Ou seja, pegamos todos os em que, quando aplicamos , caem dentro de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a função f(f^-1(X)) = f(a) mid a in f^-1(X) ao conjunto . Isso significa que estamos pegando cada elemento em e mapeando de volta para :
Como implica que , estamos basicamente pegando todos os que já estão em .

Passo 4

Agora, queremos relacionar isso com a imagem de f(f^-1(X)) = X cap Im(f) . A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os para . Portanto, está pegando os elementos de que também estão na imagem de :
Isso mostra que ao aplicar na pré-imagem de , obtemos exatamente a parte de que está na imagem de .

Resposta

Portanto, demonstramos que:
f(f^-1(X)) = X cap Im(f)

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