No espaço vetorial consideremos os seguintes subespaços:
Determinar uma base e a dimensão dos subespaços e . Usando , conclua que . Ache um vetor não nulo neste espaço e conclua do fato da dimensão deste espaço ser 1 , que este vetor é uma base para .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos trabalhando no espaço vetorial e temos dois subespaços definidos:
U: Todos os vetores onde . Isso significa que qualquer vetor em U tem a primeira coordenada igual a zero.
V: O subespaço gerado pelos vetores e . Isso quer dizer que V é formado por todas as combinações lineares desses dois vetores.
Precisamos encontrar uma base e a dimensão desses subespaços , e . Depois, usando a fórmula da dimensão da intersecção de subespaços, vamos mostrar que e encontrar um vetor não nulo nesse espaço, que servirá como base para .
Passo 2
Encontrando uma base e a dimensão de U:
Vamos começar com o subespaço U, que é definido por . Isso significa que os vetores em U têm a forma . Podemos expressar qualquer vetor em U como uma combinação linear de dois vetores básicos:
Então, uma base para U é .
A dimensão de U é o número de vetores na base, ou seja, .
Passo 3
Encontrando uma base e a dimensão de V:
Agora, vamos para o subespaço V, que é gerado pelos vetores e . Primeiro, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes.
Para isso, montamos uma combinação linear igual a zero:
Isso resulta no sistema de equações:
Da terceira equação, temos 2b = 0 ⇒ b = 0. Substituindo em 2a + b = 0, obtemos 2a = 0 ⇒ a = 0. Como a única solução é trivial (a = b = 0), os vetores são linearmente independentes.
Portanto, uma base para V é , (1, 2, 0), (3, 1, 2) ,.
A dimensão de V é 2, pois há dois vetores na base: dim(V) = 2.
Passo 4
Encontrando uma base e a dimensão de U + V:
O subespaço U + V consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor em U e um vetor em V. Para encontrar a dimensão de U + V, precisamos verificar se as bases de U e V são linearmente independentes juntas.
Temos as bases:
U: (0, 1, 0) e (0, 0, 1)
V: (1, 2, 0) e (3, 1, 2)
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e verificar o posto: