No espaço vetorial R^3 consideremos os seguintes subespaços:
U=(x, y, z) in R^3 mid x=0
V=[(1,2,0),(3,1,2)]
Determinar uma base e a dimensão dos subespaços U, V e U+V. Usando dim(U cap V)=dim(U)+dim(V)- dim(U+V), conclua que dim(U cap V)=1. Ache um vetor não nulo neste espaço e conclua do fato da dimensão deste espaço ser 1 , que este vetor é uma base para U cap V.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos trabalhando no espaço vetorial R^3 e temos dois subespaços definidos:
  • U: Todos os vetores (x, y, z) onde x = 0. Isso significa que qualquer vetor em U tem a primeira coordenada igual a zero.
  • V: O subespaço gerado pelos vetores (1, 2, 0) e (3, 1, 2). Isso quer dizer que V é formado por todas as combinações lineares desses dois vetores.
Precisamos encontrar uma base e a dimensão desses subespaços U, V e U + V. Depois, usando a fórmula da dimensão da intersecção de subespaços, vamos mostrar que dim(U cap V) = 1 e encontrar um vetor não nulo nesse espaço, que servirá como base para U cap V.

Passo 2

Encontrando uma base e a dimensão de U:
Vamos começar com o subespaço U, que é definido por x = 0. Isso significa que os vetores em U têm a forma (0, y, z). Podemos expressar qualquer vetor em U como uma combinação linear de dois vetores básicos:
(0, y, z) = y cdot (0, 1, 0) + z cdot (0, 0, 1)
Então, uma base para U é , (0, 1, 0), (0, 0, 1) ,.
A dimensão de U é o número de vetores na base, ou seja, dim(U) = 2.

Passo 3

Encontrando uma base e a dimensão de V:
Agora, vamos para o subespaço V, que é gerado pelos vetores (1, 2, 0) e (3, 1, 2). Primeiro, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes.
Para isso, montamos uma combinação linear igual a zero:
a cdot (1, 2, 0) + b cdot (3, 1, 2) = (0, 0, 0)
Isso resulta no sistema de equações:
a + 3b = 0 2a + b = 0 0a + 2b = 0
Da terceira equação, temos 2b = 0 b = 0. Substituindo em 2a + b = 0, obtemos 2a = 0 a = 0. Como a única solução é trivial ( a = b = 0), os vetores são linearmente independentes.
Portanto, uma base para V é , (1, 2, 0), (3, 1, 2) ,.
A dimensão de V é 2, pois há dois vetores na base: dim(V) = 2.

Passo 4

Encontrando uma base e a dimensão de U + V:
O subespaço U + V consiste em todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor em U e um vetor em V. Para encontrar a dimensão de U + V, precisamos verificar se as bases de U e V são linearmente independentes juntas.
Temos as bases:
  • U: (0, 1, 0) e (0, 0, 1)
  • V: (1, 2, 0) e (3, 1, 2)
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e verificar o posto:
0 & 1 & 3 1 & 2 & 1 0 & 0 & 2
Calculando o determinante:
det = 0 cdot (2 cdot 2 - 1 cdot 0) - 1 cdot (1 cdot 2 - 0 cdot 0) + 3 cdot (1 cdot 0 - 2 cdot 0) = 0 - 2 + 0 = -2 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes, e a dimensão de U + V é 3.
Então, dim(U + V) = 3.

Passo 5

Calculando a dimensão de U ∩ V:
Usamos a fórmula da dimensão da intersecção:
dim(U cap V) = dim(U) + dim(V) - dim(U + V)
Substituindo os valores que encontramos:
dim(U cap V) = 2 + 2 - 3 = 1
Então, a dimensão de U cap V é 1.

Passo 6

Encontrando um vetor não nulo em U ∩ V e sua base:
Precisamos encontrar um vetor que pertença tanto a U quanto a V. Como U é definido por x = 0, procuramos um vetor em V com coordenada x igual a zero.
Vamos resolver a combinação linear dos geradores de V igual a um vetor com x = 0:
a cdot (1, 2, 0) + b cdot (3, 1, 2) = (0, y, z)
Isso nos dá o sistema:
a + 3b = 0 2a + b = y 0a + 2b = z
Da primeira equação, a = -3b. Substituindo na segunda equação:
2(-3b) + b = -6b + b = -5b = y
E na terceira equação:
2b = z
Podemos escolher b = 1 (já que queremos um vetor não nulo), então:
a = -3 cdot 1 = -3 y = -5 cdot 1 = -5 z = 2 cdot 1 = 2
Então, o vetor é (-3, -5, 2).
Como a dimensão de U cap V é 1, esse único vetor não nulo forma uma base para U cap V.

Resposta

A base para U cap V é , (-3, -5, 2) ,.

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