Se o sistema de equações
r x+y+4 z=2 x+2 y+7 z=3 3 x+y+a z=b
É impossível, então os valores de a e b são tais que
a) a=6 e b neq 4.
b) a neq 6 e b neq 4.
c) a neq 6 e b=4.
d) a=6 e b=4
e) a é arbitrário e b neq 4.

Passo 1

Ok, vamos lá! Temos um sistema de equações e queremos descobrir os valores de e que fazem esse sistema não ter solução. Isso envolve álgebra linear, especificamente sistemas lineares. Vamos precisar manipular as equações para encontrar essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
r x + y + 4z = 2 (1) x + 2y + 7z = 3 (2) 3x + y + a z = b (3)

Passo 3

Vamos começar eliminando uma das variáveis para simplificar o sistema. Vamos eliminar o (x + 2y + 7z) - (x + y + 4z) = 3 - 2 subtraindo a equação (1) da equação (2):
y + 3z = 1 (4)
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o (3x + y + a z) - 3(x + y + 4z) = b - 3 times 2 da equação (3). Para isso, vamos subtrair 3 vezes a equação (1) da equação (3):
3x + y + a z - 3x - 3y - 12z = b - 6
Simplificando:
-2y + (a - 12)z = b - 6 (5)

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações:
y + 3z = 1 (4) -2y + (a - 12)z = b - 6 (5)
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, multiplicamos a equação (4) por 2 para facilitar a eliminação do 2y + 6z = 2 (6) :
2y + 6z + (-2y + (a - 12)z) = 2 + b - 6
Agora, somamos a equação (6) com a equação (5):
(6 + a - 12)z = b - 4
Simplificando:
(a - 6)z = b - 4

Passo 6

Para o sistema ser impossível, a equação a - 6 = 0 e b - 4 neq 0 não pode ser resolvida. Isso acontece quando o coeficiente de a = 6 e b neq 4 é zero e o termo constante não é zero ao mesmo tempo. Ou seja:
Resolvendo:

Resposta

a) e .

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