Determine se o conjunto (x1, x2, x3): x3=x1+x2 é um subespaço de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir se o conjunto é um subespaço de . Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três coisas principais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em 0 = 0 + 0 é . Vamos substituir esses valores na condição :
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está no conjunto.

Passo 3

Agora, vamos checar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto e somarmos eles, o resultado também deve estar no conjunto. Vamos considerar dois vetores u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) = (u1 + v1, u2 + v2, (u1 + u2) + (v1 + v2)) e (u1 + v1) + (u2 + v2) = (u1 + u2) + (v1 + v2) no conjunto, onde e .
Ao somar esses vetores:
Simplificando o terceiro componente:
Então, o terceiro componente da soma é igual à soma dos primeiros dois componentes, o que satisfaz a condição . Portanto, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor do conjunto por um número real qualquer, o resultado também deve estar no conjunto. Vamos pegar um vetor cu = (c cdot u1, c cdot u2, c cdot u3) = (c cdot u1, c cdot u2, c cdot (u1 + u2)) no conjunto, onde c cdot (u1 + u2) = c cdot u1 + c cdot u2 , e um escalar .
Multiplicando o vetor pelo escalar:
Simplificando o terceiro componente:
Então, o terceiro componente do vetor escalado também é igual à soma dos dois primeiros componentes multiplicados por , o que satisfaz a condição . Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, o conjunto é um subespaço de .

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