Determine se o conjunto
é um subespaço de
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa descobrir se o conjunto
é um subespaço de
. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar verificar três coisas principais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está no conjunto. O vetor zero em
é
. Vamos substituir esses valores na condição
:
Isso é verdadeiro, então o vetor zero está no conjunto.
Passo 3
Agora, vamos checar se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores quaisquer do conjunto e somarmos eles, o resultado também deve estar no conjunto. Vamos considerar dois vetores
e
no conjunto, onde
e
.
Ao somar esses vetores:
Simplificando o terceiro componente:
Então, o terceiro componente da soma é igual à soma dos primeiros dois componentes, o que satisfaz a condição
. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos qualquer vetor do conjunto por um número real qualquer, o resultado também deve estar no conjunto. Vamos pegar um vetor
no conjunto, onde
, e um escalar
.
Multiplicando o vetor pelo escalar:
Simplificando o terceiro componente:
Então, o terceiro componente do vetor escalado também é igual à soma dos dois primeiros componentes multiplicados por
, o que satisfaz a condição
. Portanto, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço de
.