Verifique se a função
é linear. Em caso afirmativo determine sua matriz.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
é linear. Se for, também precisamos encontrar a matriz que representa essa função. Estamos lidando com álgebra linear, e para resolver isso, vamos precisar entender o que define uma função linear e como montar a matriz correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função linear. Uma função
é linear se satisfaz duas propriedades básicas:
- Adição:
- Homogeneidade:
Isso significa que a função deve conservar a estrutura do espaço vetorial, ou seja, combinar vetores e escalar deve funcionar da mesma forma antes e depois da transformação.
Passo 3
Vamos verificar a primeira propriedade, a adição. Seja
e
. Então:
Simplificando:
Agora, calculamos
:
Observamos que
, então a propriedade da adição está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja
um escalar e
. Então:
Por outro lado:
Vemos que
, então a propriedade da homogeneidade também está satisfeita.
Passo 5
Como a função
satisfaz tanto a adição quanto a homogeneidade, podemos concluir que ela é uma função linear.
Passo 6
Agora, vamos determinar a matriz que representa essa função linear. Para uma função linear
, a matriz associada é:
No nosso caso,
, então:
Portanto, a matriz é:
Resposta
A função
é linear e sua matriz associada é: