Verifique se a função T(x, y)=(3 x+y, x-2 y) é linear. Em caso afirmativo determine sua matriz.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função é linear. Se for, também precisamos encontrar a matriz que representa essa função. Estamos lidando com álgebra linear, e para resolver isso, vamos precisar entender o que define uma função linear e como montar a matriz correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função linear. Uma função é linear se satisfaz duas propriedades básicas:
  1. Adição:
  2. Homogeneidade:
Isso significa que a função deve conservar a estrutura do espaço vetorial, ou seja, combinar vetores e escalar deve funcionar da mesma forma antes e depois da transformação.

Passo 3

Vamos verificar a primeira propriedade, a adição. Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (3(x1 + x2) + (y1 + y2), (x1 + x2) - 2(y1 + y2)) e = (3x1 + 3x2 + y1 + y2, x1 + x2 - 2y1 - 2y2) . Então:
T(u) = (3x1 + y1, x1 - 2y1)
Simplificando:
T(v) = (3x2 + y2, x2 - 2y2)
Agora, calculamos T(u) + T(v) = (3x1 + y1 + 3x2 + y2, x1 - 2y1 + x2 - 2y2) :
Observamos que , então a propriedade da adição está satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Seja T(cu) = T(cx, cy) = (3(cx) + cy, (cx) - 2(cy)) = (c(3x + y), c(x - 2y)) um escalar e cT(u) = c(3x + y, x - 2y) = (c(3x + y), c(x - 2y)) . Então:
Por outro lado:
Vemos que , então a propriedade da homogeneidade também está satisfeita.

Passo 5

Como a função satisfaz tanto a adição quanto a homogeneidade, podemos concluir que ela é uma função linear.

Passo 6

Agora, vamos determinar a matriz que representa essa função linear. Para uma função linear a & b c & d , a matriz associada é:
a = 3, b = 1, c = 1, d = -2
No nosso caso, 3 & 1 1 & -2 , então:
Portanto, a matriz é:

Resposta

A função 3 & 1 1 & -2 é linear e sua matriz associada é:

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