Mostre que a função T(x, y)=(-x, y) é linear. Descreva geometricamente o que a transformação executa.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função e precisa mostrar que ela é linear. Além disso, tem que explicar de forma geométrica o que essa transformação faz no plano. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares, que envolvem propriedades como aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função é linear se satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: para todo .
  2. Homogeneidade: para todo e todo escalar .
Vamos verificar essas propriedades para a função .

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Seja T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (-(x1 + x2), y1 + y2) = (-x1 - x2, y1 + y2) e T(u) + T(v) = (-x1, y1) + (-x2, y2) = (-x1 - x2, y1 + y2) .
Então,
Por outro lado,
Como , a propriedade da aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Seja T(cu) = T(cx, cy) = (-cx, cy) = c(-x, y) = cT(u) um escalar e .
Então,
Assim, , mostrando que a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Passo 5

Como ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade foram validadas, podemos concluir que a função é de fato uma transformação linear.

Passo 6

Agora, vamos pensar geometricamente no que essa transformação faz. A função inverte o sinal da coordenada enquanto mantém a coordenada igual. Isso significa que a transformação reflete qualquer ponto em relação ao eixo . Em outras palavras, ela faz uma reflexão sobre o eixo vertical.

Resposta

A função é linear e realiza uma reflexão dos pontos em relação ao eixo .

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