Mostre que a função
é linear. Descreva geometricamente o que a transformação executa.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função
e precisa mostrar que ela é linear. Além disso, tem que explicar de forma geométrica o que essa transformação faz no plano. Para isso, vamos usar os conceitos de transformações lineares, que envolvem propriedades como aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma função
é linear se satisfaz duas propriedades:
- Aditividade:
para todo . - Homogeneidade:
para todo e todo escalar .
Vamos verificar essas propriedades para a função
.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Seja
e
.
Então,
Por outro lado,
Como
, a propriedade da aditividade é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Seja
um escalar e
.
Então,
Assim,
, mostrando que a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Passo 5
Como ambas as propriedades de aditividade e homogeneidade foram validadas, podemos concluir que a função
é de fato uma transformação linear.
Passo 6
Agora, vamos pensar geometricamente no que essa transformação faz. A função
inverte o sinal da coordenada
enquanto mantém a coordenada
igual. Isso significa que a transformação reflete qualquer ponto em relação ao eixo
. Em outras palavras, ela faz uma reflexão sobre o eixo vertical.
Resposta
A função
é linear e realiza uma reflexão dos pontos em relação ao eixo
.