Determine o conjunto dos z tais que exp(z) é imaginário puro.

Passo 1

Então, a gente precisa descobrir todos os números complexos que, quando aplicamos a função exponencial , o resultado é um número imaginário puro. Vamos usar conceitos de números complexos e exponenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o número complexo na forma padrão: , onde é a parte real e é a parte imaginária, e é a unidade imaginária.

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da exponencial para números complexos. A regra é:
Isso vem da fórmula de Euler, que conecta as funções trigonométricas com a exponencial de números imaginários.

Passo 4

Queremos que seja um número imaginário puro. Isso significa que a parte real da expressão deve ser zero. Olhando para a expressão que obtivemos:
A parte real é . Então, temos que:

Passo 5

Sabe que a função exponencial nunca é zero para nenhum real. Portanto, para que a equação seja verdadeira, deve ser que:

Passo 6

A função cosseno é zero quando seu argumento é um múltiplo ímpar de . Ou seja:

Passo 7

Então, juntando tudo, os números complexos que satisfazem a condição são todos da forma , onde pode ser qualquer número real e é qualquer inteiro.

Resposta

O conjunto dos números complexos tais que é imaginário puro é:

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