Determine o conjunto dos
tais que
é imaginário puro.
Passo 1
Então, a gente precisa descobrir todos os números complexos
que, quando aplicamos a função exponencial
, o resultado é um número imaginário puro. Vamos usar conceitos de números complexos e exponenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o número complexo
na forma padrão:
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária, e
é a unidade imaginária.
Passo 3
Agora, aplicamos a fórmula da exponencial para números complexos. A regra é:
Isso vem da fórmula de Euler, que conecta as funções trigonométricas com a exponencial de números imaginários.
Passo 4
Queremos que
seja um número imaginário puro. Isso significa que a parte real da expressão deve ser zero. Olhando para a expressão que obtivemos:
A parte real é
. Então, temos que:
Passo 5
Sabe que a função exponencial
nunca é zero para nenhum
real. Portanto, para que a equação
seja verdadeira, deve ser que:
Passo 6
A função cosseno é zero quando seu argumento é um múltiplo ímpar de
. Ou seja:
Passo 7
Então, juntando tudo, os números complexos
que satisfazem a condição são todos da forma
, onde
pode ser qualquer número real e
é qualquer inteiro.
Resposta
O conjunto dos números complexos
tais que
é imaginário puro é: