Mostre que: exp(z + pi i) = -exp(z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é provar que . Isso envolve entender a função exponencial complexa. Vamos usar algumas propriedades básicas da exponencial para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial tem a propriedade de que . Isso significa que podemos separar a exponenciação quando temos uma soma no expoente.

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, temos:
Então, precisamos descobrir o valor de .

Passo 4

Para encontrar , vamos usar a fórmula de Euler, que diz que:
Aqui, .

Passo 5

Substituindo na fórmula de Euler, temos:
Sabemos que e , então:

Passo 6

Agora que sabemos que , podemos voltar à expressão que tínhamos:

Resposta

Portanto, mostramos que .

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