Verifique quais dos operadores lineares abaixo são inversíveis e, nos casos afirmativos, determine T^-1.
a) T: R^2 R^2 em que T(x, y)=(3 x-4 y,-x+2 y).
b) T: R^2 R^2 em que T(x, y)=(2 x-y,-4 x+2 y).
c) T: R^3 R^3 em que T(x, y, z)=(x-y+2 z, y-z, 2 y-3 z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de operadores lineares e inversibilidade. O que a gente vai precisar aqui é saber como representar as transformações lineares com matrizes, calcular determinantes e, se for o caso, encontrar a matriz inversa usando a regra de Cramer ou outros métodos. Vamos analisar cada parte do exercício passo a passo.

Passo 2

Parte a) definida por

Para verificar se é inversível, vamos primeiro representar como uma matriz.

Passo 3

A matriz de A = 3 & -4 -1 & 2 é:

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A) = (3)(2) - (-4)(-1) = 6 - 4 = 2 neq 0 . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
Como o determinante é 2, que é diferente de zero, é inversível.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz inversa A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a . Para uma matriz 2x2, a inversa é dada por:
A^-1 = 12 2 & 4 1 & 3 = 1 & 2 0.5 & 1.5
Aplicando os valores de :

Passo 6

Assim, a transformação inversa T^-1(x, y) = (1x + 2y, 0.5x + 1.5y) é:

Passo 7

Parte b) definida por

Vamos representar como uma matriz e calcular seu determinante para verificar se é inversível.

Passo 8

A matriz de B = 2 & -1 -4 & 2 é:

Passo 9

Calculando o determinante de det(B) = (2)(2) - (-1)(-4) = 4 - 4 = 0 :
Como o determinante é zero, a matriz não é inversível. Portanto, a transformação não possui inversa.

Passo 10

Parte c) definida por

Vamos representar como uma matriz 3x3 e calcular seu determinante para verificar a inversibilidade.

Passo 11

A matriz de C = 1 & -1 & 2 0 & 1 & -1 0 & 2 & -3 é:

Passo 12

Calculando o determinante de det(C) = 1 cdot 1 & -1 2 & -3 - (-1) cdot 0 & -1 0 & -3 + 2 cdot 0 & 1 0 & 2 :
= 1 cdot (1 cdot (-3) - (-1) cdot 2) + 1 cdot (0 cdot (-3) - (-1) cdot 0) + 2 cdot (0 cdot 2 - 1 cdot 0)
= 1 cdot (-3 + 2) + 1 cdot 0 + 2 cdot 0 = -1
Como o determinante é -1, que é diferente de zero, é inversível.

Passo 13

Agora, vamos encontrar a matriz inversa C^-1 = 1det(C) adj(C) . Para matrizes 3x3, usamos a matriz adjunta e a fórmula:
adj(C) = 1 & -1 2 & -3 & - 0 & -1 2 & -3 & 0 & 1 2 & -3 - -1 & 2 2 & -3 & 1 & 2 0 & -3 & - 1 & -1 0 & 2 -1 & 2 1 & -1 & - 1 & 2 0 & 1 & 1 & -1 0 & 1
Primeiro, calculando a matriz adjunta de adj(C) = (-3 + 2) & -(0 + 2) & (0 - 2) -((-1)(-3) - (2)(2)) & (1 cdot -3 - 2 cdot 0) & - (1 cdot 2 - (-1) cdot 0) ((-1)(-1) - (2)(1)) & - (1 cdot 1 - 2 cdot 0) & (1 cdot 1 - (-1) cdot 0) :
= -1 & -2 & -2 -(3 - 4) & -3 & -2 (1 - 2) & -1 & 1 = -1 & -2 & -2 1 & -3 & -2 -1 & -1 & 1
Calculando cada menor:
C^-1 = 1-1 -1 & -2 & -2 1 & -3 & -2 -1 & -1 & 1 = 1 & 2 & 2 -1 & 3 & 2 1 & 1 & -1
Agora, aplicando a fórmula da inversa:

Passo 14

Assim, a transformação inversa T^-1(x, y, z) = (x + 2y + 2z, -x + 3y + 2z, x + y - z) é:

Resposta

a) é inversível e sua inversa é .
b) não é inversível.
c) é inversível e sua inversa é .

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