Verifique quais dos operadores lineares abaixo são inversíveis e, nos casos afirmativos, determine .
a) em que .
b) em que .
c) em que .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que trata de operadores lineares e inversibilidade. O que a gente vai precisar aqui é saber como representar as transformações lineares com matrizes, calcular determinantes e, se for o caso, encontrar a matriz inversa usando a regra de Cramer ou outros métodos. Vamos analisar cada parte do exercício passo a passo.
Passo 2
Parte a) definida por
Para verificar se é inversível, vamos primeiro representar como uma matriz.
Passo 3
A matriz de é:
Passo 4
Vamos calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
Como o determinante é 2, que é diferente de zero, é inversível.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a matriz inversa . Para uma matriz 2x2, a inversa é dada por:
Aplicando os valores de :
Passo 6
Assim, a transformação inversa é:
Passo 7
Parte b) definida por
Vamos representar como uma matriz e calcular seu determinante para verificar se é inversível.
Passo 8
A matriz de é:
Passo 9
Calculando o determinante de :
Como o determinante é zero, a matriz não é inversível. Portanto, a transformação não possui inversa.
Passo 10
Parte c) definida por
Vamos representar como uma matriz 3x3 e calcular seu determinante para verificar a inversibilidade.