Determine se os conjuntos indicados abaixo, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é valido. Atribua um contraexemplo para cada axioma não válido:

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício que pede para a gente verificar se certos conjuntos, usando as operações que a gente já conhece (tipo adição e multiplicação), formam um espaço vetorial. Se não formarem, a gente precisa apontar qual das 10 regras dos espaços vetoriais não tá valendo e dar um exemplo para mostrar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidinho o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores que, junto com as operações de adição e multiplicação por escalar, segue 10 regras específicas chamadas de axiomas.

Passo 3

Vamos listar esses 10 axiomas pra ficar mais fácil:
  1. Fechamento sob adição: Se você somar dois vetores do conjunto, o resultado também está no conjunto.
  2. Comutatividade da adição: A ordem da soma não muda o resultado.
  3. Associatividade da adição: Como a gente agrupa os vetores na soma não muda o resultado.
  4. Elemento neutro da adição: Tem um vetor que, quando somado a qualquer outro, não muda esse outro vetor (tipo o zero).
  5. Elemento inverso aditivo: Para cada vetor, existe outro que soma com ele dá o vetor neutro.
  6. Fechamento sob multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um número (escala) dá outro vetor do conjunto.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores: Distribuir o escalar numa soma de vetores é igual a somar as multiplicações do escalar com cada vetor.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares: Multiplicar uma soma de escalares por um vetor é igual a somar as multiplicações de cada escalar com o vetor.
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: A ordem de multiplicar escalares não altera o resultado final.
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por 1 não muda o vetor.

Passo 4

Agora, com esses axiomas na cabeça, a gente vai analisar cada conjunto que o exercício quer que a gente verifique. Vamos ver se todas as regras são cumpridas. Se faltar alguma, já sabemos que não é um espaço vetorial e apontamos qual regra não foi respeitada.

Passo 5

Vamos usar um exemplo prático. Imagine que o conjunto em questão são os números naturais (0, 1, 2, 3, …) com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
  1. Fechamento sob adição: Se somar dois números naturais, o resultado também é um número natural. Ok.
  2. Comutatividade da adição: 2 + 3 = 3 + 2. Ok.
  3. Associatividade da adição: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3). Ok.
  4. Elemento neutro da adição: O elemento neutro seria o 0, que está presente nos naturais. Ok.
  5. Elemento inverso aditivo: Aqui já temos um problema. Nos números naturais, não existe um inverso para, por exemplo, o número 2, pois não tem um número natural que somado com 2 dá 0.
  6. Fechamento sob multiplicação por escalar: Multiplicando um número natural por outro número natural, o resultado é natural. Ok.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de vetores: 2*(3 + 4) = 23 + 24. 14 = 6 + 8. Ok.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar sobre a adição de escalares: (2 + 3)4 = 24 + 3*4. 20 = 8 + 12. Ok.
  9. Associatividade da multiplicação por escalar: 2*(34) = (23)*4. 24 = 24. Ok.
  10. Elemento neutro da multiplicação por escalar: 1*5 = 5. Ok.

Resposta

Os números naturais com as operações usuais não formam um espaço vetorial porque não possuem elemento inverso aditivo. Por exemplo, não existe um número natural que, somado a 2, resulte em 0, violando o quinto axioma dos espaços vetoriais.

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