Mostre que os vetores (-1,0,2,1),(0,1,2,2) e (1,2,2,3) in R^4 são linearmente independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que os vetores , e em são linearmente independentes. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se um conjunto de vetores é linearmente independente, o que geralmente envolve resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Em termos matemáticos, queremos ver se a única solução para a equação é .

Passo 3

Vamos montar esse sistema de equações. Multiplicando e somando os vetores, temos:
a(-1) + b(0) + c(1) = 0 (componente 1)
a(0) + b(1) + c(2) = 0 (componente 2)
a(2) + b(2) + c(2) = 0 (componente 3)
a(1) + b(2) + c(3) = 0 (componente 4)
Então, nosso sistema fica:
- a + c = 0 (1)
b + 2c = 0 (2)
2a + 2b + 2c = 0 (3)
a + 2b + 3c = 0 (4)

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema passo a passo. Da equação (1), podemos expressar - a + c = 0 implies a = c em função de b + 2c = 0 implies b = -2c :
Da equação (2):

Passo 5

Substituindo 2(c) + 2(-2c) + 2c = 0 implies 2c - 4c + 2c = 0 implies 0 = 0 e c + 2(-2c) + 3c = 0 implies c - 4c + 3c = 0 implies 0 = 0 na equação (3):
Isso não nos dá nova informação, então vamos para a equação (4):
Novamente, não obtivemos novas condições.

Passo 6

O que isso significa? Significa que o sistema não impõe restrições adicionais além das que já encontramos: e . Mas para os vetores serem linearmente independentes, a única solução deve ser . Vamos analisar:
Se , então e . Portanto, a única solução possível é , o que confirma que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores , e são linearmente independentes.

Exercícios relacionados