Mostre que os vetores e são linearmente independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que os vetores , e em são linearmente independentes. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se um conjunto de vetores é linearmente independente, o que geralmente envolve resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Em termos matemáticos, queremos ver se a única solução para a equação é .

Passo 3

Vamos montar esse sistema de equações. Multiplicando e somando os vetores, temos:
Então, nosso sistema fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema passo a passo. Da equação (1), podemos expressar em função de :
Da equação (2):

Passo 5

Substituindo e na equação (3):
Isso não nos dá nova informação, então vamos para a equação (4):
Novamente, não obtivemos novas condições.

Passo 6

O que isso significa? Significa que o sistema não impõe restrições adicionais além das que já encontramos: e . Mas para os vetores serem linearmente independentes, a única solução deve ser . Vamos analisar:
Se , então e . Portanto, a única solução possível é , o que confirma que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores , e são linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Mostre que os vetores e são linearmente independentes.
Verificar se a matriz é inversível e, em caso afirmativo, determinar sua inversa:
Determine se os conjuntos indicados abaixo, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é valido. Atribua um contraexemplo para cada axioma não válido:
Identifique o tipo de seção cônica e encontre os principais elementos de cada uma delas (vértices, assíntotas, focos, centros). Esboce-as.
b)