Mostre que os vetores
e
são linearmente independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que os vetores
,
e
em
são linearmente independentes. Isso está relacionado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se um conjunto de vetores é linearmente independente, o que geralmente envolve resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Em termos matemáticos, queremos ver se a única solução para a equação
é
.
Passo 3
Vamos montar esse sistema de equações. Multiplicando e somando os vetores, temos:
Então, nosso sistema fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema passo a passo. Da equação (1), podemos expressar
em função de
:
Da equação (2):
Passo 5
Substituindo
e
na equação (3):
Isso não nos dá nova informação, então vamos para a equação (4):
Novamente, não obtivemos novas condições.
Passo 6
O que isso significa? Significa que o sistema não impõe restrições adicionais além das que já encontramos:
e
. Mas para os vetores serem linearmente independentes, a única solução deve ser
. Vamos analisar:
Se
, então
e
. Portanto, a única solução possível é
, o que confirma que os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores
,
e
são linearmente independentes.