Mostre que os vetores (-1,0,1),(1,1,1) e (1,2,3) in R^3 são linearmente dependentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os vetores (-1,0,1), (1,1,1) e (1,2,3) em R^3 são linearmente dependentes. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma combinação linear e como verificar se existe uma combinação não trivial desses vetores que resulta no vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores é uma expressão onde cada vetor é multiplicado por um escalar e, em seguida, todos esses produtos são somados. No nosso caso, queremos encontrar escalares a, b e c tais que:
a cdot (-1, 0, 1) + b cdot (1, 1, 1) + c cdot (1, 2, 3) = (0, 0, 0)
Isso significa que queremos que essa soma dê o vetor zero. Se conseguirmos encontrar valores de a, b e c que não sejam todos zero, então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos expandir essa equação componente por componente. Isso nos dá um sistema de equações:
  1. Para a primeira componente:
-1 cdot a + 1 cdot b + 1 cdot c = 0 Rightarrow -a + b + c = 0
  1. Para a segunda componente:
0 cdot a + 1 cdot b + 2 cdot c = 0 Rightarrow b + 2c = 0
  1. Para a terceira componente:
1 cdot a + 1 cdot b + 3 cdot c = 0 Rightarrow a + b + 3c = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de a, b e c. Primeiro, da segunda equação, podemos expressar b em termos de c:
b = -2c
Substituindo b = -2c na primeira equação:
-a + (-2c) + c = 0 Rightarrow -a - c = 0 Rightarrow a = -c
Agora, substituindo a = -c e b = -2c na terceira equação:
(-c) + (-2c) + 3c = 0 Rightarrow -c - 2c + 3c = 0 Rightarrow 0 = 0
Isso significa que a terceira equação não nos dá nova informação, mas já temos expressões para a e b em termos de c. Podemos escolher um valor para c diferente de zero, digamos c = 1, então:
a = -1 b = -2 c = 1

Passo 5

Encontramos uma solução onde a = -1, b = -2 e c = 1, que não são todos zero. Isso significa que existe uma combinação linear não trivial dos vetores que resulta no vetor zero. Portanto, os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores (-1,0,1), (1,1,1) e (1,2,3) são linearmente dependentes.

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