Mostre que os vetores e são linearmente dependentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os vetores , e em são linearmente dependentes. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma combinação linear e como verificar se existe uma combinação não trivial desses vetores que resulta no vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores é uma expressão onde cada vetor é multiplicado por um escalar e, em seguida, todos esses produtos são somados. No nosso caso, queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso significa que queremos que essa soma dê o vetor zero. Se conseguirmos encontrar valores de , e que não sejam todos zero, então os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos expandir essa equação componente por componente. Isso nos dá um sistema de equações:
Para a primeira componente:
Para a segunda componente:
Para a terceira componente:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e . Primeiro, da segunda equação, podemos expressar em termos de :
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Isso significa que a terceira equação não nos dá nova informação, mas já temos expressões para e em termos de . Podemos escolher um valor para diferente de zero, digamos , então:
Passo 5
Encontramos uma solução onde , e , que não são todos zero. Isso significa que existe uma combinação linear não trivial dos vetores que resulta no vetor zero. Portanto, os vetores são linearmente dependentes.