Mostre que os vetores e são linearmente dependentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que os vetores , e em são linearmente dependentes. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma combinação linear e como verificar se existe uma combinação não trivial desses vetores que resulta no vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores é uma expressão onde cada vetor é multiplicado por um escalar e, em seguida, todos esses produtos são somados. No nosso caso, queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso significa que queremos que essa soma dê o vetor zero. Se conseguirmos encontrar valores de , e que não sejam todos zero, então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos expandir essa equação componente por componente. Isso nos dá um sistema de equações:
  1. Para a primeira componente:
  1. Para a segunda componente:
  1. Para a terceira componente:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e . Primeiro, da segunda equação, podemos expressar em termos de :
Substituindo na primeira equação:
Agora, substituindo e na terceira equação:
Isso significa que a terceira equação não nos dá nova informação, mas já temos expressões para e em termos de . Podemos escolher um valor para diferente de zero, digamos , então:

Passo 5

Encontramos uma solução onde , e , que não são todos zero. Isso significa que existe uma combinação linear não trivial dos vetores que resulta no vetor zero. Portanto, os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Os vetores , e são linearmente dependentes.

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Identifique o tipo de seção cônica e encontre os principais elementos de cada uma delas (vértices, assíntotas, focos, centros). Esboce-as.
b)
Determine se os conjuntos indicados abaixo, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é valido. Atribua um contraexemplo para cada axioma não válido:
Nos problemas a seguir, classificar e resolver os sistemas:
Mostre que os vetores e são linearmente dependentes.