Determine quais dos conjuntos são subespaços vetoriais de
.
a) todas as matrizes
com entradas inteiras.
b) todas as matrizes
tais que
.
c) todas as matrizes da forma
a) todas as matrizes
b) todas as matrizes
c) todas as matrizes da forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir quais desses conjuntos de matrizes são subespaços vetoriais de
. Pra isso, precisamos lembrar que um subespaço vetorial deve:
- Conter a matriz nula.
- Ser fechado sob adição (se você somar duas matrizes do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto).
- Ser fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar uma matriz do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto).
Vamos analisar cada item do exercício usando essas propriedades.
Passo 2
Item a): Todas as matrizes
com entradas inteiras.
Primeiro, verifica se a matriz nula está no conjunto. Sim, a matriz com todos os zeros tem entradas inteiras. Agora, vamos ver a adição: se somarmos duas matrizes com entradas inteiras, o resultado também terá entradas inteiras. Até aqui, tá tudo certo.
Mas e a multiplicação por escalar? Se multiplicarmos uma matriz com entradas inteiras por, digamos,
, as entradas deixam de ser inteiras. Isso viola a segunda propriedade.
Passo 3
Item b): Todas as matrizes
tal que
.
Vamos conferir as três propriedades:
- Matriz Nula: Se
, então . Então, a matriz nula está no conjunto. - Adição: Se temos duas matrizes onde a soma das entradas é zero:
[
+
]
A soma
. Então, está fechado sob adição.
3. Multiplicação por Escalar: Se multiplicarmos por um escalar
:
[
k \cdot
]
A soma
. Então, está fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 4
Item c): Todas as matrizes da forma
Vamos verificar as propriedades:
- Matriz Nula: Se
, temos a matriz nula. Então, está no conjunto. - Adição: Somando duas matrizes desse tipo:
[
+
]
A posição
continua sendo zero. Então, está fechado sob adição.
3. Multiplicação por Escalar: Multiplicando por um escalar
:
[
k \cdot
]
A posição
continua sendo zero. Então, está fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Os conjuntos dos itens (b) e © são subespaços vetoriais de
.