Determine quais dos conjuntos são subespaços vetoriais de M2(R).
a) todas as matrizes 2 times 2 com entradas inteiras.
b) todas as matrizes
(ll a & b c & d )
tais que a+b+c+d=0.
c) todas as matrizes da forma
(ll a & b 0 & c )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir quais desses conjuntos de matrizes são subespaços vetoriais de . Pra isso, precisamos lembrar que um subespaço vetorial deve:
  1. Conter a matriz nula.
  2. Ser fechado sob adição (se você somar duas matrizes do conjunto, o resultado também deve estar no conjunto).
  3. Ser fechado sob multiplicação por escalar (se você multiplicar uma matriz do conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto).
Vamos analisar cada item do exercício usando essas propriedades.

Passo 2

Item a): Todas as matrizes com entradas inteiras.
Primeiro, verifica se a matriz nula está no conjunto. Sim, a matriz com todos os zeros tem entradas inteiras. Agora, vamos ver a adição: se somarmos duas matrizes com entradas inteiras, o resultado também terá entradas inteiras. Até aqui, tá tudo certo.
Mas e a multiplicação por escalar? Se multiplicarmos uma matriz com entradas inteiras por, digamos, , as entradas deixam de ser inteiras. Isso viola a segunda propriedade.

Passo 3

Item b): Todas as matrizes
a & b c & d
tal que a1 & b1 c1 & d1 + a2 & b2 c2 & d2 = a1 + a2 & b1 + b2 c1 + c2 & d1 + d2 .
Vamos conferir as três propriedades:
  1. Matriz Nula: Se k cdot a & b c & d = ka & kb kc & kd , então . Então, a matriz nula está no conjunto.
  2. Adição: Se temos duas matrizes onde a soma das entradas é zero:

[

+


]
A soma . Então, está fechado sob adição.
3. Multiplicação por Escalar: Se multiplicarmos por um escalar :
[
k \cdot


]
A soma . Então, está fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 4

Item c): Todas as matrizes da forma
a & b 0 & c
Vamos verificar as propriedades:
  1. Matriz Nula: Se a1 & b1 0 & c1 + a2 & b2 0 & c2 = a1 + a2 & b1 + b2 0 & c1 + c2 , temos a matriz nula. Então, está no conjunto.
  2. Adição: Somando duas matrizes desse tipo:

[
k cdot a & b 0 & c = ka & kb 0 & kc
+


]
A posição continua sendo zero. Então, está fechado sob adição.
3. Multiplicação por Escalar: Multiplicando por um escalar :
[
k \cdot


]
A posição continua sendo zero. Então, está fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Os conjuntos dos itens (b) e © são subespaços vetoriais de .

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