Encontre o ponto
do plano
para que seja máxima a diferença de suas distâncias aos pontos
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um plano definido pela equação
e dois pontos no espaço:
e
. Precisamos encontrar um ponto
nesse plano onde a diferença entre as distâncias de
a
e
a
seja a maior possível.
Matéria envolvida: Geometria Analítica e Otimização.
O que vamos precisar: Fórmula da distância entre dois pontos no espaço e técnicas de otimização, como Lagrange.
Passo 2
Vamos começar lembrando que a distância entre dois pontos no espaço tridimensional, digamos
e
, é dada pela fórmula:
No nosso caso, queremos maximizar a diferença das distâncias:
Passo 3
Para encontrar o ponto
que maximiza essa diferença, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar extremos de funções sujeitas a restrições.
A restrição aqui é que
deve estar no plano
.
Passo 4
Definimos a função objetivo e a restrição:
Passo 5
Aplicamos os multiplicadores de Lagrange, introduzindo um multiplicador
para a restrição:
Isso nos leva a um sistema de equações onde as derivadas parciais de
em relação a
,
e
são iguais a
vezes as derivadas parciais de
.
Passo 6
Calculamos as derivadas parciais de
:
Passo 7
Resolvemos este sistema de equações juntamente com a restrição do plano
. Esse processo envolve substituir as expressões das derivadas e resolver para
,
e
.
Após resolver o sistema, obtemos as coordenadas do ponto
que maximiza a diferença das distâncias.
Resposta
O ponto
que maximiza a diferença das distâncias aos pontos
e
no plano
é: