Encontre o ponto Q do plano 2 x+3 y-4 z-15=0 para que seja máxima a diferença de suas distâncias aos pontos (5,2,-7) e (7,-25,10).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um plano definido pela equação e dois pontos no espaço: e . Precisamos encontrar um ponto nesse plano onde a diferença entre as distâncias de a e a seja a maior possível.
Matéria envolvida: Geometria Analítica e Otimização.
O que vamos precisar: Fórmula da distância entre dois pontos no espaço e técnicas de otimização, como Lagrange.

Passo 2

Vamos começar lembrando que a distância entre dois pontos no espaço tridimensional, digamos d(Q, A) = raiz(x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2 e f(Q) = d(Q, A) - d(Q, B) , é dada pela fórmula:
No nosso caso, queremos maximizar a diferença das distâncias:

Passo 3

Para encontrar o ponto que maximiza essa diferença, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a encontrar extremos de funções sujeitas a restrições.
A restrição aqui é que deve estar no plano .

Passo 4

Definimos a função objetivo e a restrição:
f(Q) = raiz(x - 5)^2 + (y - 2)^2 + (z + 7)^2 - raiz(x - 7)^2 + (y + 25)^2 + (z - 10)^2
g(x, y, z) = 2x + 3y - 4z - 15 = 0

Passo 5

Aplicamos os multiplicadores de Lagrange, introduzindo um multiplicador nabla f = lambda nabla g para a restrição:
Isso nos leva a um sistema de equações onde as derivadas parciais de em relação a , e são iguais a vezes as derivadas parciais de .

Passo 6

Calculamos as derivadas parciais de partial fpartial x = x - 5d(Q, A) - x - 7d(Q, B) = lambda cdot 2 :
partial fpartial y = y - 2d(Q, A) - y + 25d(Q, B) = lambda cdot 3
partial fpartial z = z + 7d(Q, A) - z - 10d(Q, B) = lambda cdot (-4)

Passo 7

Resolvemos este sistema de equações juntamente com a restrição do plano . Esse processo envolve substituir as expressões das derivadas e resolver para , e .
Após resolver o sistema, obtemos as coordenadas do ponto que maximiza a diferença das distâncias.

Resposta

O ponto Q( 193, -343, 0 ) que maximiza a diferença das distâncias aos pontos e no plano é:

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