Seja o conjunto dos polinômios a uma variável e coeficientes reais. Seja o conjunto dos de grau menor ou igual a 4 e que tem o zero como raiz.
(1) Mostre que é um espaço vetorial real.
(2) Mostre que é um subespaço de .
(3) Calcule uma base ordenada para e calcule as coordenadas de e na sua base .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear que trata de espaços vetoriais. Primeiro, vamos entender o que o problema pede:
  1. Espaço Vetorial: Verificar se , o conjunto de todos os polinômios com coeficientes reais, é um espaço vetorial.
  2. Subespaço: Mostrar que , o conjunto de polinômios de grau até 4 que têm zero como raiz, é um subespaço de .
  3. Base e Coordenadas: Encontrar uma base ordenada para e calcular as coordenadas de dois polinômios específicos nessa base.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de espaços vetoriais, subespaços, bases e coordenadas em Álgebra Linear.

Passo 2

Parte 1: Mostrando que é um espaço vetorial real
Primeiro, precisamos entender o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre os números reais é um conjunto onde podemos adicionar quaisquer dois elementos e multiplicar qualquer elemento por um escalar (número real), e esses resultados ainda pertencem ao conjunto. Além disso, algumas propriedades, como associatividade, comutatividade da adição, existência de elemento neutro e inverso, etc., devem ser satisfeitas.
Agora, vamos verificar se cumpre essas condições:
  1. Fechamento sob Adição: Se você pegar dois polinômios quaisquer e em , a soma também é um polinômio com coeficientes reais, logo pertence a .
  2. Fechamento sob Multiplicação por Escalar: Se você multiplicar um polinômio por um número real , o resultado ainda é um polinômio com coeficientes reais, portanto, pertence a .
  3. Verificação das Propriedades Axiômicas: As operações de adição e multiplicação escalar em seguem todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial, como associatividade, comutatividade da adição, existência de um elemento neutro (o polinômio zero), etc.
Como todas essas condições são satisfeitas, podemos concluir que é, de fato, um espaço vetorial real.

Passo 3

Parte 2: Mostrando que é um subespaço de
Um subespaço é um subconjunto de um espaço vetorial que, ele mesmo, satisfaz todas as condições de um espaço vetorial. Para ser um subespaço de , precisamos verificar três coisas:
  1. O polinômio zero está em : O polinômio zero, que é , claramente tem zero como raiz e é de grau menor ou igual a 4, então pertence a .
  2. Fechamento sob Adição: Se e estão em , ou seja, têm zero como raiz e grau , então também terá zero como raiz (porque ) e o grau será no máximo 4, então está em .
  3. Fechamento sob Multiplicação por Escalar: Se está em e é um número real, então também terá zero como raiz (pois ) e o grau será , então está em .
Como todas essas condições são satisfeitas, é um subespaço de .

Passo 4

Parte 3: Calculando uma base para e as coordenadas de e
Primeiro, vamos encontrar uma base ordenada para . Sabemos que os polinômios em têm grau e têm zero como raiz, o que significa que . Isso implica que cada polinômio em pode ser escrito como , onde é um polinômio de grau .
Portanto, podemos escolher uma base para multiplicando por uma base padrão para os polinômios de grau . Uma base padrão para polinômios de grau é . Multiplicando cada termo por , obtemos a base para :
Agora, vamos encontrar as coordenadas dos polinômios e em relação a essa base .
Para encontrar as coordenadas, expressamos cada polinômio como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, encontramos os coeficientes tais que:
Para :
Comparando os coeficientes:
  • Coeficiente de : 0 (não existe termo em )
  • Coeficiente de : -3
  • Coeficiente de : 0 (não existe termo em )
  • Coeficiente de : 2
Então, as coordenadas de são:
Para :
Comparando os coeficientes:
  • Coeficiente de : -1
  • Coeficiente de : 3
  • Coeficiente de : 0 (não existe termo em )
  • Coeficiente de : -2
Então, as coordenadas de são:

Resposta

A base ordenada para é . As coordenadas dos polinômios são:

Exercícios relacionados

Seja . Verifique que é um espaço vetorial sobre com dimensão 1 .
Determine quais dos seguintes polinômios são subespaços de todos os polinômios para os quais .
Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Calcule a dimensão da imagem de , i.e., .
Determine se os conjuntos a seguir são subespaços vetoriais e se forem exiba uma base. Se não forem, diga por que não.
Se houver subespaço, justifique por que os elementos em questão formam uma base.