Seja T: R^4 R^4 a transformação linear T(x)=A x dada pela matriz A abaixo. Calcule a dimensão da imagem de T, i.e., para dim(T(R^4)).
A=(llll 2 & 3 & -1 & 1 1 & 2 & -3 & 0 1 & 2 & -2 & 0 1 & 2 & -3 & 1 )

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Temos uma transformação linear definida pela multiplicação por uma matriz de ordem 4. Precisamos calcular a dimensão da imagem de , ou seja, encontrar .
Conteúdo da Matéria:
  • Transformações lineares
  • Imagem de uma transformação linear
  • Posto (rank) de uma matriz
  • Operações elementares para reduzir a matriz e determinar o posto
O que vamos precisar:
Realizar operações elementares na matriz para trazê-la a uma forma escalonada e, assim, contar o número de linhas não nulas, que corresponde ao posto da matriz.

Passo 2

Matriz Original:
Primeiro, vamos escrever a matriz A = 2 & 3 & -1 & 1 1 & 2 & -3 & 0 1 & 2 & -2 & 0 1 & 2 & -3 & 1 :

Passo 3

Primeira Operação:
Nosso objetivo é criar zeros abaixo do primeiro elemento (o pivô) da primeira coluna. Para isso:
  • Vamos substituir a segunda linha ( R2 &= R2 - 12R1 &= 1 & 2 & -3 & 0 - 12 2 & 3 & -1 & 1 &= 0 & 0.5 & -2.5 & -0.5 R3 &= R3 - 12R1 &= 1 & 2 & -2 & 0 - 12 2 & 3 & -1 & 1 &= 0 & 0.5 & -1.5 & -0.5 R4 &= R4 - 12R1 &= 1 & 2 & -3 & 1 - 12 2 & 3 & -1 & 1 &= 0 & 0.5 & -2.5 & 0.5 ) por A = 2 & 3 & -1 & 1 0 & 0.5 & -2.5 & -0.5 0 & 0.5 & -1.5 & -0.5 0 & 0.5 & -2.5 & 0.5 .
  • Substituir a terceira linha ( ) por .
  • Substituir a quarta linha ( ) por .
Aplicando as Operações:
Matriz Após a Operação:

Passo 4

Segunda Operação:
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos criar zeros abaixo do segundo pivô (que é R3 &= R3 - R2 &= 0 & 0.5 & -1.5 & -0.5 - 0 & 0.5 & -2.5 & -0.5 &= 0 & 0 & 1 & 0 R4 &= R4 - R2 &= 0 & 0.5 & -2.5 & 0.5 - 0 & 0.5 & -2.5 & -0.5 &= 0 & 0 & 0 & 1 na segunda linha).
  • Substituir a terceira linha ( A = 2 & 3 & -1 & 1 0 & 0.5 & -2.5 & -0.5 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ) por .
  • Substituir a quarta linha ( ) por .
Aplicando as Operações:
Matriz Após a Operação:

Passo 5

Terceira Operação:
Vamos simplificar a segunda linha para facilitar a identificação dos pivôs.
  • Multiplicar a segunda linha ( R2 = 2 times R2 = 0 & 1 & -5 & -1 ) por 2 para eliminar o coeficiente decimal.
Aplicando a Operação:
A = 2 & 3 & -1 & 1 0 & 1 & -5 & -1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Matriz Após a Operação:

Passo 6

Últimos Passos para Forma Escalonada:
A matriz já está quase na forma escalonada. Vamos verificar se há necessidade de mais operações.
  • A primeira linha tem pivô na primeira coluna.
  • A segunda linha tem pivô na segunda coluna.
  • A terceira linha tem pivô na terceira coluna.
  • A quarta linha tem pivô na quarta coluna.
Como não há mais elementos abaixo dos pivôs, a matriz já está em forma escalonada.

Resposta

A dimensão da imagem de é 4.

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