Seja
a transformação linear
dada pela matriz
abaixo. Calcule a dimensão da imagem de
, i.e.,
.
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Temos uma transformação linear definida pela multiplicação por uma matriz
de ordem 4. Precisamos calcular a dimensão da imagem de
, ou seja, encontrar
.
Temos uma transformação linear
Conteúdo da Matéria:
- Transformações lineares
- Imagem de uma transformação linear
- Posto (rank) de uma matriz
- Operações elementares para reduzir a matriz e determinar o posto
O que vamos precisar:
Realizar operações elementares na matriz para trazê-la a uma forma escalonada e, assim, contar o número de linhas não nulas, que corresponde ao posto da matriz.
Realizar operações elementares na matriz
Passo 2
Matriz Original:
Primeiro, vamos escrever a matriz A = 2 & 3 & -1 & 1 1 & 2 & -3 & 0 1 & 2 & -2 & 0 1 & 2 & -3 & 1 :
Primeiro, vamos escrever a matriz
Passo 3
Primeira Operação:
Nosso objetivo é criar zeros abaixo do primeiro elemento (o pivô) da primeira coluna. Para isso:
Nosso objetivo é criar zeros abaixo do primeiro elemento (o pivô) da primeira coluna. Para isso:
- Vamos substituir a segunda linha (
) porR2 &= R2 - 12R1 &= 1 & 2 & -3 & 0 - 12 2 & 3 & -1 & 1 &= 0 & 0.5 & -2.5 & -0.5 R3 &= R3 - 12R1 &= 1 & 2 & -2 & 0 - 12 2 & 3 & -1 & 1 &= 0 & 0.5 & -1.5 & -0.5 R4 &= R4 - 12R1 &= 1 & 2 & -3 & 1 - 12 2 & 3 & -1 & 1 &= 0 & 0.5 & -2.5 & 0.5 .A = 2 & 3 & -1 & 1 0 & 0.5 & -2.5 & -0.5 0 & 0.5 & -1.5 & -0.5 0 & 0.5 & -2.5 & 0.5 - Substituir a terceira linha (
) por . - Substituir a quarta linha (
) por .
Aplicando as Operações:
Matriz Após a Operação:
Passo 4
Segunda Operação:
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos criar zeros abaixo do segundo pivô (que é R3 &= R3 - R2 &= 0 & 0.5 & -1.5 & -0.5 - 0 & 0.5 & -2.5 & -0.5 &= 0 & 0 & 1 & 0 R4 &= R4 - R2 &= 0 & 0.5 & -2.5 & 0.5 - 0 & 0.5 & -2.5 & -0.5 &= 0 & 0 & 0 & 1 na segunda linha).
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos criar zeros abaixo do segundo pivô (que é
- Substituir a terceira linha (
) porA = 2 & 3 & -1 & 1 0 & 0.5 & -2.5 & -0.5 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 . - Substituir a quarta linha (
) por .
Aplicando as Operações:
Matriz Após a Operação:
Passo 5
Terceira Operação:
Vamos simplificar a segunda linha para facilitar a identificação dos pivôs.
Vamos simplificar a segunda linha para facilitar a identificação dos pivôs.
- Multiplicar a segunda linha (
) por 2 para eliminar o coeficiente decimal.R2 = 2 times R2 = 0 & 1 & -5 & -1
Aplicando a Operação:
Matriz Após a Operação:
Passo 6
Últimos Passos para Forma Escalonada:
A matriz já está quase na forma escalonada. Vamos verificar se há necessidade de mais operações.
A matriz já está quase na forma escalonada. Vamos verificar se há necessidade de mais operações.
- A primeira linha tem pivô na primeira coluna.
- A segunda linha tem pivô na segunda coluna.
- A terceira linha tem pivô na terceira coluna.
- A quarta linha tem pivô na quarta coluna.
Como não há mais elementos abaixo dos pivôs, a matriz já está em forma escalonada.
Resposta
A dimensão da imagem de
é 4.