Os vetores a e b formam um ângulo de 150^circ, sabe-se que || a||=raiz3 e que || b||=raiz2, Calcule:
d) || 5 a-4 b||
RESP: a) raiz5-3 raiz2
b) raiz5+3 raiz2
c) raiz35-18 raiz2
d) raiz107+60 raiz2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem dois vetores, a e b, que formam um ângulo de 150 graus entre eles. Sabemos que o módulo de a é √3 e o de b é √2. A gente precisa calcular o módulo do vetor resultante de 5a - 4b, ou seja, ||5a - 4b||. Para resolver isso, vamos usar a teoria de álgebra vetorial, especificamente a fórmula para o módulo de uma combinação linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular o módulo de um vetor resultante, como u = ca + db, a fórmula é:
||u|| = √(c²||a||² + d²||b||² + 2cd||a|| ||b|| cosθ)
Onde:
  • c e d são os coeficientes que multiplicam os vetores a e b,
  • θ é o ângulo entre os vetores a e b.

Passo 3

No nosso caso, temos:
  • c = 5
  • d = -4 (porque é 5a - 4b)
  • ||a|| = √3
  • ||b|| = √2
  • θ = 150°
Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 4

Substituindo os valores:
||5a - 4b|| = √[(5)²(√3)² + (-4)²(√2)² + 2*(5)(-4)(√3)*(√2)*cos150°]

Passo 5

Agora, vamos calcular cada parte:
(5)² = 25
(√3)² = 3
Multiplicando: 25 * 3 = 75
(-4)² = 16
(√2)² = 2
Multiplicando: 16 * 2 = 32
Agora, para a parte do meio:
2 * 5 * (-4) = -40
√3 * √2 = √6
cos150°: Sabemos que cos(150°) = -√3/2
Então, -40 * √6 * (-√3/2) = -40 * √6 * (-√3/2) = 20 * √18
Como √18 = 3√2, então 20 * 3√2 = 60√2

Passo 6

Agora, juntando tudo:
||5a - 4b|| = √[75 + 32 + 60√2] = √[107 + 60√2]

Resposta

O módulo de 5a - 4b é √(107 + 60√2).

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