Os vetores
formam um ângulo de
, sabe-se que ||
e que ||
, Calcule:
d) ||
RESP: a)
b)
c)
d)
d) ||
RESP: a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem dois vetores, a e b, que formam um ângulo de 150 graus entre eles. Sabemos que o módulo de a é √3 e o de b é √2. A gente precisa calcular o módulo do vetor resultante de 5a - 4b, ou seja, ||5a - 4b||. Para resolver isso, vamos usar a teoria de álgebra vetorial, especificamente a fórmula para o módulo de uma combinação linear de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para calcular o módulo de um vetor resultante, como u = ca + db, a fórmula é:
||u|| = √(c²||a||² + d²||b||² + 2cd||a|| ||b|| cosθ)
Onde:
- c e d são os coeficientes que multiplicam os vetores a e b,
- θ é o ângulo entre os vetores a e b.
Passo 3
No nosso caso, temos:
- c = 5
- d = -4 (porque é 5a - 4b)
- ||a|| = √3
- ||b|| = √2
- θ = 150°
Vamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 4
Substituindo os valores:
||5a - 4b|| = √[(5)²(√3)² + (-4)²(√2)² + 2*(5)(-4)(√3)*(√2)*cos150°]
Passo 5
Agora, vamos calcular cada parte:
(5)² = 25
(√3)² = 3
Multiplicando: 25 * 3 = 75
(-4)² = 16
(√2)² = 2
Multiplicando: 16 * 2 = 32
Agora, para a parte do meio:
2 * 5 * (-4) = -40
√3 * √2 = √6
cos150°: Sabemos que cos(150°) = -√3/2
Então, -40 * √6 * (-√3/2) = -40 * √6 * (-√3/2) = 20 * √18
Como √18 = 3√2, então 20 * 3√2 = 60√2
Passo 6
Agora, juntando tudo:
||5a - 4b|| = √[75 + 32 + 60√2] = √[107 + 60√2]
Resposta
O módulo de 5a - 4b é √(107 + 60√2).