Seja um quadrilátero de lados e . Sejam e os pontos médios dos lados e , respectivamente. Mostre que:
a)
b) E F=12(A C+B D)
Passo 1
Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um quadrilátero ABCD com lados AB, BC, CD e DA. Os pontos E e F são os pontos médios dos lados AB e CD, respectivamente. Precisamos provar duas igualdades envolvendo o vetor EF. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e pontos médios.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o ponto E que é o ponto médio de AB. Isso significa que as coordenadas de E são a média das coordenadas de A e B. Em termos de vetores, podemos escrever:
E = 12(A + B)
Passo 3
Da mesma forma, o ponto F é o ponto médio de CD. Então, as coordenadas de F também são a média das coordenadas de C e D:
F = 12(C + D)
Passo 4
Agora, queremos encontrar o vetor EF. Para isso, subtraímos o vetor posição de E do vetor posição de F:
EF = F - E
Passo 5
Substituindo as expressões de E e F que encontramos nos passos anteriores:
EF = 12(C + D) - 12(A + B)
Passo 6
Podemos fatorar 12 e reorganizar os termos:
EF = 12( (C + D) - (A + B) )
EF = 12(D - A + C - B)
Passo 7
Rearranjando os termos para agrupar AD e BC:
EF = 12(D - A + C - B)
EF = 12(AD + BC)
Passo 8
Agora, vamos provar a segunda parte: que EF = 12(AC + BD). Novamente, começamos identificando os pontos médios e expressando os vetores correspondentes.