Seja A B C D um quadrilátero de lados A B, B C, C D e D A. Sejam E e F os pontos médios dos lados A B e C D, respectivamente. Mostre que:
a) E F=12(A D+B C)
b) E F=12(A C+B D)

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos um quadrilátero ABCD com lados AB, BC, CD e DA. Os pontos E e F são os pontos médios dos lados AB e CD, respectivamente. Precisamos provar duas igualdades envolvendo o vetor EF. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e pontos médios.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o ponto E que é o ponto médio de AB. Isso significa que as coordenadas de E são a média das coordenadas de A e B. Em termos de vetores, podemos escrever:
E = 12(A + B)

Passo 3

Da mesma forma, o ponto F é o ponto médio de CD. Então, as coordenadas de F também são a média das coordenadas de C e D:
F = 12(C + D)

Passo 4

Agora, queremos encontrar o vetor EF. Para isso, subtraímos o vetor posição de E do vetor posição de F:
EF = F - E

Passo 5

Substituindo as expressões de E e F que encontramos nos passos anteriores:
EF = 12(C + D) - 12(A + B)

Passo 6

Podemos fatorar 12 e reorganizar os termos:
EF = 12( (C + D) - (A + B) )
EF = 12(D - A + C - B)

Passo 7

Rearranjando os termos para agrupar AD e BC:
EF = 12(D - A + C - B)
EF = 12(AD + BC)

Passo 8

Agora, vamos provar a segunda parte: que EF = 12(AC + BD). Novamente, começamos identificando os pontos médios e expressando os vetores correspondentes.

Passo 9

Como já vimos, temos:
E = 12(A + B)
F = 12(C + D)

Passo 10

Calculamos o vetor EF da mesma forma:
EF = F - E = 12(C + D) - 12(A + B)

Passo 11

Distribuindo o 12 e reorganizando os termos:
EF = 12(C - A + D - B)

Passo 12

Podemos reescrever isso como:
EF = 12(AC + BD)
Pois AC = C - A e BD = D - B.

Resposta

Assim, também provamos que:
EF = 12(AC + BD)

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