Verifique se os operadores lineares T: R^3 R^3 são diagonalizáveis. Represente a matriz diagonal se o operador for diagonalizável.
T(x, y, z)=(x+2 y+3 z, 2 y+3 z, 3 z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o operador linear definido por é diagonalizável. Se for, precisamos representar a matriz diagonal correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz A = 1 & 2 & 3 0 & 2 & 3 0 & 0 & 3 que representa o operador linear . Cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores canônicos .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de det( 1 - lambda & 2 & 3 0 & 2 - lambda & 3 0 & 0 & 3 - lambda ) = (1 - lambda)(2 - lambda)(3 - lambda) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica , onde é a matriz identidade.
Assim, os autovalores são , e .

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para 0 & 2 & 3 0 & 1 & 3 0 & 0 & 2 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos -1 & 2 & 3 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0 :

[
-2 & 2 & 3 0 & -1 & 3 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0


]
Isso nos dá , e livre. Então, um autovetor é .
Para :
Resolvemos :

[


]
Isso nos dá e . Então, . Um autovetor é .
Para :
Resolvemos :

[


]
Isso nos dá e . Escolhendo , temos e . Então, um autovetor é .

Passo 5

Como encontramos três autovalores distintos com três autovetores linearmente independentes, podemos concluir que a matriz D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 é diagonalizável. A matriz diagonal terá os autovalores na diagonal principal.

Resposta

O operador D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 é diagonalizável e a matriz diagonal correspondente é:

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Seja A B C D um quadrilátero de lados A B, B C, C D e D A. Sejam E e F os pontos médios dos lados A B e C D, respectivamente. Mostre que:
a) E F=12(A D+B C)
b) E F=12(A C+B D)
Calcule os seguintes produtos:
b) [ll1 & 0 0 & 1][ll2 & 3 5 & 7][cc-1 & 0 1 & 2][ll0 & 1 1 & 0]
Determine se os conjuntos de vetores a seguir são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Encontre uma parametrização para os vetores do espaço gerado e, se possível, identifique o tipo de espaço que geram. v1=(2,-1,3), v2=(6,-3,9) in R^3 ;
Verifique se os operadores lineares T: R^3 R^3 são diagonalizáveis. Represente a matriz diagonal se o operador for diagonalizável.
T(x, y, z)=(2 x-y, y-z, 2 y+4 z)