Verifique se os operadores lineares são diagonalizáveis. Represente a matriz diagonal se o operador for diagonalizável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o operador linear definido por é diagonalizável. Se for, precisamos representar a matriz diagonal correspondente. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que representa o operador linear . Cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores canônicos .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de det( 1 - lambda & 2 & 3 0 & 2 - lambda & 3 0 & 0 & 3 - lambda ) = (1 - lambda)(2 - lambda)(3 - lambda) = 0 . Para isso, resolvemos a equação característica , onde é a matriz identidade.
Assim, os autovalores são , e .
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Isso nos dá e . Escolhendo , temos e . Então, um autovetor é .
Passo 5
Como encontramos três autovalores distintos com três autovetores linearmente independentes, podemos concluir que a matriz D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 é diagonalizável. A matriz diagonal terá os autovalores na diagonal principal.
Resposta
O operador D = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 é diagonalizável e a matriz diagonal correspondente é: