Determine se os conjuntos de vetores a seguir são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Encontre uma parametrização para os vetores do espaço gerado e, se possível, identifique o tipo de espaço que geram. v1=1+3 x^2, v2=4 x^2 in P^3 ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que pede pra gente descobrir se dois vetores são linearmente independentes (LI) ou dependentes (LD). Além disso, tem que encontrar uma parametrização para o espaço que esses vetores geram e, se der, identificar que tipo de espaço é esse. Os vetores estão no espaço das polinômios de grau até 3, denotado por v1 = 1 + 3x^2, v2 = 4x^2 , e são:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação linear, independência linear e parametrização de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a cdot v1 + b cdot v2 = 0 e a(1 + 3x^2) + b(4x^2) = 0 são linearmente independentes ou dependentes. Para isso, a gente assume que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero:
a + (3a + 4b)x^2 = 0
Substituindo os vetores:
a = 0 3a + 4b = 0
Distribuindo os coeficientes:
3(0) + 4b = 0 Rightarrow b = 0
Para que essa equação seja verdadeira para todo , os coeficientes de cada termo devem ser igual a zero:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, já sabemos que . Substituindo na segunda:
Como a única solução é e , os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Como os vetores são linearmente independentes, isso significa que nenhum deles pode ser escrito como múltiplo do outro. Ou seja, um vetor não está “sobreposto” ao outro no espaço vetorial. Portanto, eles geram um espaço bidimensional dentro de .

Passo 4

Agora, vamos parametrizar o espaço gerado por w = c cdot v1 + d cdot v2 = c(1 + 3x^2) + d(4x^2) e w = c + (3c + 4d)x^2 . Como os vetores são independentes, qualquer vetor nesse espaço pode ser escrito como combinação linear deles. Então, um vetor geral no espaço gerado é:
Distribuindo:
Aqui, e são parâmetros que podem variar em .

Passo 5

Por fim, vamos identificar o tipo de espaço que está sendo gerado. Como estamos trabalhando em e os vetores são polinômios de grau até 2, o espaço gerado por e é um plano dentro de . Esse plano é bidimensional porque é gerado por dois vetores linearmente independentes.

Resposta

Os vetores w = c(1 + 3x^2) + d(4x^2) = c + (3c + 4d)x^2 e são linearmente independentes. O espaço que eles geram pode ser parametrizado por:
Esse espaço é um plano bidimensional dentro de .

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