Determine se os conjuntos de vetores a seguir são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Encontre uma parametrização para os vetores do espaço gerado e, se possível, identifique o tipo de espaço que geram.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são três vetores no espaço dos polinômios de grau até 2, que a gente chama de P^2. Esses vetores são:
v1 = 1 + 5x + 3x^2
v2 = 6x
v3 = 1 + 4x^2
O que a gente precisa descobrir é se esses vetores são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Além disso, queremos saber como é o espaço que eles geram e, se der, identificar o tipo desse espaço. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra linear, principalmente o conceito de combinação linear e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente independentes ou dependentes. Basicamente:
Linearmente independentes (LI): Nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Ou seja, a única solução para a equação av1 + bv2 + cv3 = 0 é a = b = c = 0.
Linearmente dependentes (LD): Pelo menos um vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros. Existe uma solução não trivial para av1 + bv2 + cv3 = 0, ou seja, além de a = b = c = 0, tem outras soluções.
Passo 3
Vamos montar a combinação linear dos vetores e igualar a zero:
a(1 + 5x + 3x^2) + b(6x) + c(1 + 4x^2) = 0
Agora, vamos distribuir os coeficientes:
a + 5a x + 3a x^2 + 6b x + c + 4c x^2 = 0
Agrupando os termos semelhantes:
(a + c) + (5a + 6b) x + (3a + 4c) x^2 = 0
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x, os coeficientes de cada potência de x devem ser iguais a zero. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
a + c = 0 5a + 6b = 0 3a + 4c = 0
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de a, b e c.
Primeiro, da primeira equação:
a + c = 0 Rightarrow c = -a
Agora, substituímos c = -a na terceira equação:
3a + 4(-a) = 0 3a - 4a = 0 - a = 0 a = 0
Se a = 0, então c = -a = 0.
Agora, substituímos a = 0 na segunda equação:
5(0) + 6b = 0 6b = 0 b = 0
Passo 5
Encontramos que a única solução para o sistema é a = b = c = 0. Isso significa que a única combinação linear que resulta no vetor nulo é a trivial. Portanto, os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
Passo 6
Como os vetores são linearmente independentes e temos três vetores em P^2, que é um espaço tridimensional (considerando os coeficientes de 1, x e x^2), eles formam uma base para P^2. Isso significa que qualquer polinômio de grau até 2 pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores.
Resposta
Os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes e formam uma base para o espaço P^2.