Sejam A, B e O pontos do plano. Mostre que um ponto P pertence ao segmento A B se e somente se existe t in[0,1] tal que
O P=(1-t) O A+t O B
Mostre também que o ponto médio do segmento A B é obtido tomando t=12.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: queremos mostrar que um ponto OP = (1-t) OA + t OB pertence ao segmento se e somente se existe um número real no intervalo tal que
Além disso, precisamos demonstrar que o ponto médio de corresponde a .
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra vetorial, especificamente a ideia de combinação linear de vetores e a definição de segmento de reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que pertence ao segmento . Isso implica que está em algum lugar entre e , incluindo os pontos e mesmos.
Matematicamente, podemos representar a posição de em relação a e usando um parâmetro , que nos permite “interpolar” entre e .

Passo 3

A expressão dada:
OP = (1-t) OA + t OB
é uma combinação linear dos vetores e . Aqui, e são coeficientes que balanceiam a contribuição de cada vetor na posição de .
Quando varia de 0 a 1, se move de para :
  • Se , então , ou seja, .
  • Se , então , ou seja, .

Passo 4

Para valores de entre 0 e 1, estará em algum ponto intermediário entre e . Isso confirma que pertence ao segmento .
Portanto, mostramos que se pertence a , então existe um que satisfaz a relação dada.

Passo 5

Agora, precisamos mostrar a conversa: se existe um que satisfaz a equação, então pertence ao segmento .
Como está no intervalo , é uma combinação ponderada de e que garante que ele está entre esses dois pontos no plano. Isso confirma que está no segmento .

Passo 6

Para encontrar o ponto médio de OP = (1 - 12) OA + 12 OB = 12 OA + 12 OB , atribuiremos na equação:
Isso mostra que o vetor posição de é a média dos vetores posição de e , ou seja, o ponto médio.

Resposta

Portanto, demonstramos que um ponto OP = (1-t) OA + t OB pertence ao segmento se e somente se existe um tal que
Além disso, o ponto médio de é obtido quando .

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