Determine as constantes a e b para que a função f(x) seja derivável.
f(x) = { x^3, se x <= 1; a x^2 + b, se x > 1 }
Obs: Não utilizar as técnicas de derivação nesta questão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar as constantes e para que essa função seja derivável. Isso significa que a função precisa ser contínua em e que as derivadas das duas partes também coincidam nesse ponto. Para resolver, vamos garantir que os valores e as inclinações (derivadas) das duas partes da função sejam iguais em .

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Isso quer dizer que o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita, ou seja, .
Para :
Para :
Igualando os dois:
Essa é nossa primeira equação.

Passo 3

Agora, vamos garantir que as derivadas das duas partes da função também sejam iguais em . Isso assegura que não haja “quebra” na inclinação da função.
Vamos calcular as derivadas:
Para :
Então:
Para :
Então:
Igualando as derivadas:
Daí, isolando :

Passo 4

Agora que já temos , vamos usar a primeira equação para encontrar .
Lembrando:
Substituindo :
Isolando :

Resposta

As constantes que fazem a função ser derivável são:

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