Determine as constantes a e b para que a função
seja derivável.
Obs: Não utilizar as técnicas de derivação nesta questão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar as constantes
e
para que essa função seja derivável. Isso significa que a função precisa ser contínua em
e que as derivadas das duas partes também coincidam nesse ponto. Para resolver, vamos garantir que os valores e as inclinações (derivadas) das duas partes da função sejam iguais em
.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Isso quer dizer que o limite da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando
se aproxima de 1 pela direita, ou seja,
.
Para
:
Para
:
Igualando os dois:
Essa é nossa primeira equação.
Passo 3
Agora, vamos garantir que as derivadas das duas partes da função também sejam iguais em
. Isso assegura que não haja “quebra” na inclinação da função.
Vamos calcular as derivadas:
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Igualando as derivadas:
Daí, isolando
:
Passo 4
Agora que já temos
, vamos usar a primeira equação para encontrar
.
Lembrando:
Substituindo
:
Isolando
:
Resposta
As constantes que fazem a função ser derivável são: