Determine as constantes a e b para que a função seja derivável.
Obs: Não utilizar as técnicas de derivação nesta questão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar as constantes e para que essa função seja derivável. Isso significa que a função precisa ser contínua em e que as derivadas das duas partes também coincidam nesse ponto. Para resolver, vamos garantir que os valores e as inclinações (derivadas) das duas partes da função sejam iguais em .
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Isso quer dizer que o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita, ou seja, .
Para :
Para :
Igualando os dois:
Essa é nossa primeira equação.
Passo 3
Agora, vamos garantir que as derivadas das duas partes da função também sejam iguais em . Isso assegura que não haja “quebra” na inclinação da função.
Vamos calcular as derivadas:
Para :
Então:
Para :
Então:
Igualando as derivadas:
Daí, isolando :
Passo 4
Agora que já temos , vamos usar a primeira equação para encontrar .
Lembrando:
Substituindo :
Isolando :
Resposta
As constantes que fazem a função ser derivável são: