Responda aos itens detalhadamente.
Explique o que deve ser feito para que a função
seja inversível. Em seguida, determine a função
tal que
é a inversa de
. Não se esqueça de apresentar os conjuntos domínio e imagem da função
.
Explique o que deve ser feito para que a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar como fazer uma função
ser inversível. Depois, precisamos descobrir qual é a função inversa
de
. Para isso, vamos trabalhar com o conteúdo de funções inversas. Precisaremos entender os critérios para uma função ter inversa e os passos para encontrá-la.
Passo 2
Primeiro, uma função precisa ser inversível para que a gente possa encontrar a sua inversa. Mas o que isso significa? Basicamente, a função
tem que ser bijetora, ou seja, tem que ser injetora e sobrejetora.
-
Injetora: Significa que cada valor de saída é mapeado por um único valor de entrada. Em outras palavras, se
, então . Isso evita que dois valores diferentes de produzam o mesmo . -
Sobrejetora: Significa que todo valor no conjunto imagem tem pelo menos um valor no domínio que o mapeia para ele. Assim, não sobra nenhum “buraco” no conjunto imagem.
Resumindo, para
ser inversível, ela precisa ser injetora e sobrejetora.
Passo 3
Agora, vamos descobrir a função inversa
. O processo geral para encontrar a inversa de uma função é o seguinte:
-
Substituir
por : -
Trocar
e : -
Resolver essa equação para
, que será a função inversa .
Vamos fazer um exemplo para ficar mais claro. Suponha que:
Passo 1: Substituir por
:
Passo 2: Trocar
e
:
Passo 3: Resolver para
:
Então, a função inversa é:
Passo 4
Por último, vamos identificar o domínio e a imagem da função inversa
.
-
Domínio de
: É o conjunto de todos os valores que pode aceitar. Como é a inversa de , o domínio de é igual à imagem de . No nosso exemplo, se , o domínio de é todos os números reais, e a imagem também é todos os números reais. Assim, o domínio de é todos os números reais. -
Imagem de
: É o conjunto de todos os valores que pode produzir. Isso corresponde ao domínio de . No exemplo, como o domínio de é todos os números reais, a imagem de também é todos os números reais.
Resposta
A função
é inversível porque é injetora e sobrejetora. A função inversa de
é:
- Domínio de
: (todos os números reais) - Imagem de
: (todos os números reais)
Exercícios relacionados
Responda aos itens detalhadamente.
Explique por que a função , definida em
não é inversível.
Explique por que a função
Determine as constantes a e b para que a função
seja derivável.
Obs: Não utilizar as técnicas de derivação nesta questão.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da
no ponto de abscissa
.
Responda aos itens detalhadamente.
Mostre que .
Mostre que