Responda aos itens detalhadamente.
Explique o que deve ser feito para que a função seja inversível. Em seguida, determine a função tal que é a inversa de . Não se esqueça de apresentar os conjuntos domínio e imagem da função .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar como fazer uma função ser inversível. Depois, precisamos descobrir qual é a função inversa de . Para isso, vamos trabalhar com o conteúdo de funções inversas. Precisaremos entender os critérios para uma função ter inversa e os passos para encontrá-la.

Passo 2

Primeiro, uma função precisa ser inversível para que a gente possa encontrar a sua inversa. Mas o que isso significa? Basicamente, a função tem que ser bijetora, ou seja, tem que ser injetora e sobrejetora.
  • Injetora: Significa que cada valor de saída é mapeado por um único valor de entrada. Em outras palavras, se , então . Isso evita que dois valores diferentes de produzam o mesmo .
  • Sobrejetora: Significa que todo valor no conjunto imagem tem pelo menos um valor no domínio que o mapeia para ele. Assim, não sobra nenhum “buraco” no conjunto imagem.
Resumindo, para ser inversível, ela precisa ser injetora e sobrejetora.

Passo 3

Agora, vamos descobrir a função inversa . O processo geral para encontrar a inversa de uma função é o seguinte:
  1. Substituir por :
  2. Trocar e :
  3. Resolver essa equação para , que será a função inversa .
Vamos fazer um exemplo para ficar mais claro. Suponha que:
Passo 1: Substituir por :
Passo 2: Trocar e :
Passo 3: Resolver para :
Então, a função inversa é:

Passo 4

Por último, vamos identificar o domínio e a imagem da função inversa .
  • Domínio de : É o conjunto de todos os valores que pode aceitar. Como é a inversa de , o domínio de é igual à imagem de . No nosso exemplo, se , o domínio de é todos os números reais, e a imagem também é todos os números reais. Assim, o domínio de é todos os números reais.
  • Imagem de : É o conjunto de todos os valores que pode produzir. Isso corresponde ao domínio de . No exemplo, como o domínio de é todos os números reais, a imagem de também é todos os números reais.

Resposta

A função é inversível porque é injetora e sobrejetora. A função inversa de é:
  • Domínio de : (todos os números reais)
  • Imagem de : (todos os números reais)

Exercícios relacionados

Responda aos itens detalhadamente.
Explique por que a função , definida em não é inversível.
Determine as constantes a e b para que a função seja derivável.
Obs: Não utilizar as técnicas de derivação nesta questão.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da no ponto de abscissa .
Responda aos itens detalhadamente.
Mostre que .