Responda aos itens detalhadamente.
Explique por que a função
, definida em
não é inversível.
Explique por que a função
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
definida no intervalo
e queremos saber por que ela não é inversível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser inversível e as propriedades que ela deve ter para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Uma função
possui uma função inversa
se, para cada
no contradomínio de
, existe um único
no domínio tal que
. Ou seja,
precisa ser bijetora (injetora e sobrejetora).
Passo 3
Vamos verificar se a função
é injetora no intervalo
. Uma função é injetora se elementos diferentes do domínio mapeiam para elementos diferentes do contradomínio. Porém, a função cosseno não é injetora nesse intervalo porque valores diferentes de
podem produzir o mesmo valor de
.
Passo 4
Por exemplo, considere
e
:
Aqui, dois valores diferentes de
produzem o mesmo valor de
, ou seja,
. Isso mostra que a função não é injetora.
Passo 5
Além disso, para uma função ser inversível, ela precisa ser monótona (sempre crescente ou sempre decrescente) no seu domínio, o que garante a injetividade. A função
no intervalo
não é monótona porque ela primeiro decresce de
a
e depois aumenta de
a
.
Passo 6
Como a função
não é injetora e não é monótona no intervalo
, ela não possui uma função inversa nesse domínio.
Resposta
A função
, definida em
, não é inversível porque não é injetora no seu domínio, já que valores diferentes de
podem resultar no mesmo valor de
, o que impede a existência de uma função inversa única.