Responda aos itens detalhadamente.
Explique por que a função , definida em não é inversível.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função definida no intervalo e queremos saber por que ela não é inversível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser inversível e as propriedades que ela deve ter para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Uma função possui uma função inversa se, para cada no contradomínio de , existe um único no domínio tal que . Ou seja, precisa ser bijetora (injetora e sobrejetora).
Passo 3
Vamos verificar se a função é injetora no intervalo . Uma função é injetora se elementos diferentes do domínio mapeiam para elementos diferentes do contradomínio. Porém, a função cosseno não é injetora nesse intervalo porque valores diferentes de podem produzir o mesmo valor de .
Passo 4
Por exemplo, considere e :
Aqui, dois valores diferentes de produzem o mesmo valor de , ou seja, . Isso mostra que a função não é injetora.
Passo 5
Além disso, para uma função ser inversível, ela precisa ser monótona (sempre crescente ou sempre decrescente) no seu domínio, o que garante a injetividade. A função no intervalo não é monótona porque ela primeiro decresce de a e depois aumenta de a .
Passo 6
Como a função não é injetora e não é monótona no intervalo , ela não possui uma função inversa nesse domínio.
Resposta
A função , definida em , não é inversível porque não é injetora no seu domínio, já que valores diferentes de podem resultar no mesmo valor de , o que impede a existência de uma função inversa única.