Responda aos itens detalhadamente.
Explique por que a função , definida em não é inversível.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função definida no intervalo e queremos saber por que ela não é inversível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser inversível e as propriedades que ela deve ter para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. Uma função possui uma função inversa se, para cada no contradomínio de , existe um único no domínio tal que . Ou seja, precisa ser bijetora (injetora e sobrejetora).

Passo 3

Vamos verificar se a função é injetora no intervalo . Uma função é injetora se elementos diferentes do domínio mapeiam para elementos diferentes do contradomínio. Porém, a função cosseno não é injetora nesse intervalo porque valores diferentes de podem produzir o mesmo valor de .

Passo 4

Por exemplo, considere e :
Aqui, dois valores diferentes de produzem o mesmo valor de , ou seja, . Isso mostra que a função não é injetora.

Passo 5

Além disso, para uma função ser inversível, ela precisa ser monótona (sempre crescente ou sempre decrescente) no seu domínio, o que garante a injetividade. A função no intervalo não é monótona porque ela primeiro decresce de a e depois aumenta de a .

Passo 6

Como a função não é injetora e não é monótona no intervalo , ela não possui uma função inversa nesse domínio.

Resposta

A função , definida em , não é inversível porque não é injetora no seu domínio, já que valores diferentes de podem resultar no mesmo valor de , o que impede a existência de uma função inversa única.

Exercícios relacionados

Determine as constantes a e b para que a função seja derivável.
Obs: Não utilizar as técnicas de derivação nesta questão.
Considere a função .
Responda aos itens detalhadamente.
Explique o que deve ser feito para que a função seja inversível. Em seguida, determine a função tal que é a inversa de . Não se esqueça de apresentar os conjuntos domínio e imagem da função .
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da no ponto de abscissa .