Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é tangente ao gráfico de
. Ilustre a interseção construindo o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação de uma reta que passa pelo ponto
e que é tangente ao gráfico da função
. Basicamente, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para achar a reta que toca o gráfico de
num único ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser tangente a um gráfico. Uma reta tangente toca o gráfico da função em exatamente um ponto e tem a mesma inclinação (ou taxa de variação) nesse ponto. Para encontrarmos essa reta, precisamos determinar onde ela toca o gráfico de
e qual é a inclinação nesse ponto.
Passo 3
Vamos chamar o ponto de tangência de
. Como
, então
. A inclinação da reta tangente nesse ponto é dada pela derivada de
em
. A derivada de
é
, então em
, a inclinação é
.
Passo 4
Agora, sabemos que a reta tangente passa por
e tem inclinação
. A equação da reta pode ser escrita usando a forma ponto-inclinação:
Simplificando:
Passo 5
Além disso, essa reta também passa pelo ponto
. Então, devemos substituir
e
na equação da reta:
Resolvendo para
:
Passo 6
Com
, podemos encontrar a equação da reta tangente:
Resposta
A equação da reta que passa pelo ponto
e é tangente ao gráfico de
é:
Ilustração
[Aqui você pode desenhar o gráfico de
e a reta
para visualizar a interseção tangente no ponto
e o ponto
.]
Exercícios relacionados
Determine a derivada de cada uma das funções a seguir:
Determine as derivadas das funções a seguir:
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
e em caso afirmativo, determine
:
Determine as constantes
e
de modo que
seja derivável: em
, sendo