Determine a equação da reta que passa pelo ponto e é tangente ao gráfico de . Ilustre a interseção construindo o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a equação de uma reta que passa pelo ponto e que é tangente ao gráfico da função . Basicamente, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para achar a reta que toca o gráfico de num único ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser tangente a um gráfico. Uma reta tangente toca o gráfico da função em exatamente um ponto e tem a mesma inclinação (ou taxa de variação) nesse ponto. Para encontrarmos essa reta, precisamos determinar onde ela toca o gráfico de e qual é a inclinação nesse ponto.

Passo 3

Vamos chamar o ponto de tangência de . Como , então . A inclinação da reta tangente nesse ponto é dada pela derivada de em . A derivada de é , então em , a inclinação é .

Passo 4

Agora, sabemos que a reta tangente passa por e tem inclinação . A equação da reta pode ser escrita usando a forma ponto-inclinação:
Simplificando:

Passo 5

Além disso, essa reta também passa pelo ponto . Então, devemos substituir e na equação da reta:
Resolvendo para :

Passo 6

Com , podemos encontrar a equação da reta tangente:

Resposta

A equação da reta que passa pelo ponto e é tangente ao gráfico de é:

Ilustração

[Aqui você pode desenhar o gráfico de e a reta para visualizar a interseção tangente no ponto e o ponto .]

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