Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
e em caso afirmativo, determine
:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem a função
, onde
é um número natural positivo, e precisamos verificar se essa função é derivável num ponto específico
. Se for, a gente também vai calcular a derivada, ou seja,
. Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, bora lembrar o que é derivada pela definição. A derivada de uma função
no ponto
é o limite da razão entre a variação da função e a variação da variável, quando essa variação tende a zero. Matematicamente, isso é representado por:
Esse limite, se existir, nos dá a inclinação da tangente à curva da função no ponto
, ou seja, a taxa de variação instantânea da função naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à função que temos. Substituímos
na fórmula da derivada:
Aqui, nosso objetivo é simplificar essa expressão para conseguir calcular o limite.
Passo 4
Para simplificar, vamos expandir o termo
usando o binômio de Newton. Sabemos que:
Como vamos dividir tudo por
e depois considerar o limite quando
tende a zero, os termos com
ou de ordem superior vão se tornar insignificantes, ou seja, vão a zero nesse limite.
Passo 5
Substituindo a expansão na nossa fórmula da derivada:
Os termos
se cancelam, restando:
Agora, podemos dividir cada termo do numerador por
:
Quando
tende a zero, todos os termos que contêm
vão desaparecer, sobrando apenas o primeiro termo.
Passo 6
Então, temos:
Isso mostra que a função
é derivável em qualquer ponto
do conjunto dos números reais, e a sua derivada nesse ponto é
.
Resposta
Sim, a função
é derivável em
e a derivada é
.
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é tangente ao gráfico de
. Ilustre a interseção construindo o gráfico.
Determine a derivada de cada uma das funções a seguir:
Determine as constantes
e
de modo que
seja derivável: em
, sendo
Determine as derivadas das funções a seguir: