Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em e em caso afirmativo, determine :

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem a função , onde é um número natural positivo, e precisamos verificar se essa função é derivável num ponto específico . Se for, a gente também vai calcular a derivada, ou seja, . Para isso, vamos usar a definição de derivada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, bora lembrar o que é derivada pela definição. A derivada de uma função no ponto é o limite da razão entre a variação da função e a variação da variável, quando essa variação tende a zero. Matematicamente, isso é representado por:
Esse limite, se existir, nos dá a inclinação da tangente à curva da função no ponto , ou seja, a taxa de variação instantânea da função naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à função que temos. Substituímos na fórmula da derivada:
Aqui, nosso objetivo é simplificar essa expressão para conseguir calcular o limite.

Passo 4

Para simplificar, vamos expandir o termo usando o binômio de Newton. Sabemos que:
Como vamos dividir tudo por e depois considerar o limite quando tende a zero, os termos com ou de ordem superior vão se tornar insignificantes, ou seja, vão a zero nesse limite.

Passo 5

Substituindo a expansão na nossa fórmula da derivada:
Os termos se cancelam, restando:
Agora, podemos dividir cada termo do numerador por :
Quando tende a zero, todos os termos que contêm vão desaparecer, sobrando apenas o primeiro termo.

Passo 6

Então, temos:
Isso mostra que a função é derivável em qualquer ponto do conjunto dos números reais, e a sua derivada nesse ponto é .

Resposta

Sim, a função é derivável em e a derivada é .

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