Determine o valor de , caso exista, para que a função dada seja contínua em . em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes e precisamos descobrir qual o valor de para que essa função seja contínua em . Isso faz parte do conteúdo de continuidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Aqui, , então precisamos encontrar o limite de quando se aproxima de 3 e igualar isso a .
Passo 3
Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 3. Para , a função é:
Podemos simplificar essa fração fatorando o numerador:
Então:
Aqui, o cancela, mas lembrando que , restando:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 3:
Passo 4
Para a função ser contínua em , o limite que acabamos de encontrar deve ser igual ao valor da função nesse ponto: