Determine o valor de , caso exista, para que a função dada seja contínua em .
em .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes e precisamos descobrir qual o valor de para que essa função seja contínua em . Isso faz parte do conteúdo de continuidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Aqui, , então precisamos encontrar o limite de quando se aproxima de 3 e igualar isso a .

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 3. Para , a função é:
Podemos simplificar essa fração fatorando o numerador:
Então:
Aqui, o cancela, mas lembrando que , restando:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 3:

Passo 4

Para a função ser contínua em , o limite que acabamos de encontrar deve ser igual ao valor da função nesse ponto:

Resposta

O valor de é 6.

Exercícios relacionados

Mostre a unicidade do limite, ou seja, mostre que se e , então .
A função é contínua em ? Justifique.
Determine as constantes de modo que a função seja contínua em .
Seja definida em . Suponha que . Calcule: