Determine o valor de L, caso exista, para que a função dada seja contínua em x_0.
f(x) = { (x^2 - 9) / (x - 3), se x ≠ 3; L, se x = 3 } em x0 = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes e precisamos descobrir qual o valor de para que essa função seja contínua em . Isso faz parte do conteúdo de continuidade de funções. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Aqui, , então precisamos encontrar o limite de quando se aproxima de 3 e igualar isso a .

Passo 3

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de 3. Para , a função é:
Podemos simplificar essa fração fatorando o numerador:
Então:
Aqui, o cancela, mas lembrando que , restando:
Agora, calculamos o limite quando se aproxima de 3:

Passo 4

Para a função ser contínua em , o limite que acabamos de encontrar deve ser igual ao valor da função nesse ponto:

Resposta

O valor de é 6.

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