Mostre a unicidade do limite, ou seja, mostre que se e , então .
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre limites de funções. A questão pede para mostrar que o limite de uma função quando se aproxima de é único. Ou seja, se e , precisamos provar que . Para isso, vamos usar a definição de limite e algumas propriedades básicas da matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que, para todo , existe um tal que, sempre que , então .
Passo 3
Agora, segundo a hipótese do exercício, temos dois limites:
Vamos usar a definição de limite para cada um desses casos.
Passo 4
Para , para qualquer , existe um tal que se , então .
Passo 5
Para , de maneira semelhante, para o mesmo , existe um tal que se , então .
Passo 6
Escolhemos . Assim, se , ambas as desigualdades e são válidas ao mesmo tempo.
Passo 7
Queremos relacionar e . Vamos calcular :
Aqui, usamos a desigualdade triangular, que afirma que a soma das magnitudes é maior ou igual à magnitude da soma.
Passo 8
Como e , então:
Passo 9
Como pode ser qualquer número positivo pequeno, podemos fazer tão pequeno quanto quisermos. A única forma de ser menor que qualquer número positivo é se .
Resposta
Portanto, . O limite de uma função quando se aproxima de é único.