Mostre a unicidade do limite, ou seja, mostre que se lim x p f(x)=L1 e lim x p f(x)=L2, então L1=L2.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre limites de funções. A questão pede para mostrar que o limite de uma função quando se aproxima de é único. Ou seja, se e , precisamos provar que . Para isso, vamos usar a definição de limite e algumas propriedades básicas da matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa . Isso quer dizer que, para todo , existe um tal que, sempre que , então .

Passo 3

Agora, segundo a hipótese do exercício, temos dois limites:
Vamos usar a definição de limite para cada um desses casos.

Passo 4

Para , para qualquer , existe um tal que se , então .

Passo 5

Para , de maneira semelhante, para o mesmo , existe um tal que se , então .

Passo 6

Escolhemos . Assim, se , ambas as desigualdades e são válidas ao mesmo tempo.

Passo 7

Queremos relacionar |L1 - L2| = |L1 - f(x) + f(x) - L2| <= |L1 - f(x)| + |f(x) - L2| e . Vamos calcular :
Aqui, usamos a desigualdade triangular, que afirma que a soma das magnitudes é maior ou igual à magnitude da soma.

Passo 8

Como |L1 - L2| < epsilon + epsilon = 2epsilon e , então:

Passo 9

Como pode ser qualquer número positivo pequeno, podemos fazer tão pequeno quanto quisermos. A única forma de ser menor que qualquer número positivo é se .

Resposta

Portanto, . O limite de uma função quando se aproxima de é único.

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