Mostre a unicidade do limite, ou seja, mostre que se
e
, então
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre limites de funções. A questão pede para mostrar que o limite de uma função
quando
se aproxima de
é único. Ou seja, se
e
, precisamos provar que
. Para isso, vamos usar a definição de limite e algumas propriedades básicas da matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. Isso quer dizer que, para todo
, existe um
tal que, sempre que
, então
.
Passo 3
Agora, segundo a hipótese do exercício, temos dois limites:
Vamos usar a definição de limite para cada um desses casos.
Passo 4
Para
, para qualquer
, existe um
tal que se
, então
.
Passo 5
Para
, de maneira semelhante, para o mesmo
, existe um
tal que se
, então
.
Passo 6
Escolhemos
. Assim, se
, ambas as desigualdades
e
são válidas ao mesmo tempo.
Passo 7
Queremos relacionar
e
. Vamos calcular
:
Aqui, usamos a desigualdade triangular, que afirma que a soma das magnitudes é maior ou igual à magnitude da soma.
Passo 8
Como
e
, então:
Passo 9
Como
pode ser qualquer número positivo pequeno, podemos fazer
tão pequeno quanto quisermos. A única forma de
ser menor que qualquer número positivo é se
.
Resposta
Portanto,
. O limite de uma função quando
se aproxima de
é único.