Determine as constantes a e b de modo que
seja derivável em
, sendo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as constantes
e
para que a função
seja derivável em
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de derivadas e continuidade. Vamos precisar garantir que a função seja contínua em
e que as derivadas dos dois lados também sejam iguais nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em
. Isso significa que os limites pela esquerda e pela direita em
devem ser iguais ao valor da função nesse ponto.
Para
, a função é
. Então, o valor de
pela esquerda é:
Para
, a função é
. Então, o limite de
quando
se aproxima de 1 pela direita é:
Para continuidade, devemos ter:
Passo 3
Agora, vamos garantir que a derivada de
também seja contínua em
. Isso significa que as derivadas da esquerda e da direita em
devem ser iguais.
Primeiro, derivamos
para
:
Então, a derivada pela esquerda em
é:
Agora, derivamos
para
:
Então, a derivada pela direita em
é:
Para as derivadas serem iguais, temos:
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema de equações que encontramos:
Da equação (2):
Substituindo
na equação (1):
Resposta
As constantes são
e
.
Exercícios relacionados
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
e em caso afirmativo, determine
:
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
e em caso afirmativo, determine
:
Determine as derivadas das funções a seguir:
Calcule as seguintes derivadas: