Determine as constantes a e b de modo que seja derivável em , sendo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as constantes e para que a função seja derivável em . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente de derivadas e continuidade. Vamos precisar garantir que a função seja contínua em e que as derivadas dos dois lados também sejam iguais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função seja contínua em . Isso significa que os limites pela esquerda e pela direita em devem ser iguais ao valor da função nesse ponto.
Para , a função é . Então, o valor de pela esquerda é:
Para , a função é . Então, o limite de quando se aproxima de 1 pela direita é:
Para continuidade, devemos ter:

Passo 3

Agora, vamos garantir que a derivada de também seja contínua em . Isso significa que as derivadas da esquerda e da direita em devem ser iguais.
Primeiro, derivamos para :
Então, a derivada pela esquerda em é:
Agora, derivamos para :
Então, a derivada pela direita em é:
Para as derivadas serem iguais, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema de equações que encontramos:
Da equação (2):
Substituindo na equação (1):

Resposta

As constantes são e .

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Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em e em caso afirmativo, determine :
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Determine as derivadas das funções a seguir:
Calcule as seguintes derivadas: