Determine as derivadas das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar a derivada da função . Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra do quociente, já que temos uma divisão de duas funções. Para isso, precisamos conhecer as derivadas das funções trigonométricas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que e . Talvez seja útil reescrever a função para facilitar a derivação:

Passo 3

Simplificando o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:

Passo 4

Agora, a função fica:
Isso simplifica para:
Porque e .

Passo 5

Agora que simplificamos a função para , podemos reescrever isso como , que é a função cosecante.

Passo 6

A derivada de é conhecida e é:
Onde usamos as regras de derivação para funções trigonométricas, lembrando que a derivada de é .

Resposta

A derivada da função é .

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Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em e em caso afirmativo, determine :
Calcule as seguintes derivadas:
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