Determine as derivadas das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para achar a derivada da função
. Aqui, vamos usar o conteúdo de derivadas, especificamente a regra do quociente, já que temos uma divisão de duas funções. Para isso, precisamos conhecer as derivadas das funções trigonométricas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
e
. Talvez seja útil reescrever a função para facilitar a derivação:
Passo 3
Simplificando o numerador e o denominador:
Numerador:
Denominador:
Passo 4
Agora, a função fica:
Isso simplifica para:
Porque
e
.
Passo 5
Agora que simplificamos a função para
, podemos reescrever isso como
, que é a função cosecante.
Passo 6
A derivada de
é conhecida e é:
Onde usamos as regras de derivação para funções trigonométricas, lembrando que a derivada de
é
.
Resposta
A derivada da função é
.
Exercícios relacionados
Determine as constantes a e b de modo que
seja derivável em
, sendo
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em
e em caso afirmativo, determine
:
Calcule as seguintes derivadas:
Calcule as seguintes derivadas: