Determine constantes reais a, b, c e d de modo que a função indicada seja analítica.
a) f(z)=3 x-y+5+i(a x+b y-3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as constantes reais , , e para que a função seja analítica. Isso envolve conceitos de análise complexa, especificamente as Equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias para uma função ser analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de uma variável complexa u(x, y) = 3x - y + 5 pode ser escrita como v(x, y) = a x + b y - 3 , onde e são funções reais de e . No nosso caso:

Passo 3

Para que partial upartial x = partial vpartial y seja analítica, as funções partial upartial y = -partial vpartial x e devem satisfazer as Equações de Cauchy-Riemann:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Para partial upartial x = 3 e partial upartial y = -1 :
partial vpartial x = a e partial vpartial y = b
Para :

Passo 5

Agora, aplicamos as Equações de Cauchy-Riemann:
  1. 3 = b
-1 = -a implies a = 1

Passo 6

Até aqui, encontramos que e . Mas o exercício pede também para determinar e . Observando a função original , não há termos envolvendo e . Isso sugere que talvez esse problema específico só necessita de encontrar e .

Passo 7

Portanto, as constantes que tornam a função analítica são:
a = 1 e b = 3

Resposta

As constantes reais que tornam a função analítica são e .

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, mostre que a função indicada não é analítica em nenhum lugar.
d) f(z)=x^2+y^2
Use as regras de derivação para determinar as derivadas das funções abaixo.
d) f(z)=3 z-4+8 i2 z+i
Explique qual a condição para calcularmos a distância entre dois planos. E entre uma reta e um plano?
Use as regras de derivação para determinar as derivadas das funções abaixo.
b) f(z)=(2 z+1)(z^2-4 z+8 i)