Use as regras de derivação para determinar as derivadas das funções abaixo.
d) f(z)=3 z-4+8 i2 z+i

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função . Vamos usar as regras de derivação de funções racionais, que envolvem a derivada de uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são funções de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra da derivada de uma divisão. Se temos uma função f'(z) = g'(z) cdot h(z) - g(z) cdot h'(z)[h(z)]^2 , a derivada dela é dada por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de e .

Passo 3

Identificando as partes da nossa função:
Agora, vamos derivar cada uma:
  • A derivada de em relação a é (porque a derivada de é 3, e as constantes desaparecem).
  • A derivada de em relação a é (a derivada de é 2, e é constante).

Passo 4

Aplicando a regra da derivada da divisão que mencionamos:
f'(z) = 3 cdot (2z + i) - (3z - 4 + 8i) cdot 2(2z + i)^2
Vamos simplificar o numerador agora.

Passo 5

Simplificando o numerador passo a passo:
3 cdot (2z + i) = 6z + 3i
(3z - 4 + 8i) cdot 2 = 6z - 8 + 16i
Subtraindo esses resultados:
6z + 3i - (6z - 8 + 16i) = 6z + 3i - 6z + 8 - 16i = 8 - 13i

Passo 6

Agora, colocamos tudo de volta na fórmula da derivada:
f'(z) = 8 - 13i(2z + i)^2

Resposta

A derivada da função é .

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b) lim z 1-i 5 z^2-2 z+2z+1
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c) f(z)=4 x^2+5 x-4 y^2+9+i(8 x y+5 y-1)
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d) f(z)=x^2+y^2
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a) f(z)=3 x-y+5+i(a x+b y-3)