Use as regras de derivação para determinar as derivadas das funções abaixo.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função
. Vamos usar as regras de derivação de funções racionais, que envolvem a derivada de uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são funções de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra da derivada de uma divisão. Se temos uma função
, a derivada dela é dada por:
Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de
e
.
Passo 3
Identificando as partes da nossa função:
Agora, vamos derivar cada uma:
- A derivada de
em relação a é (porque a derivada de é 3, e as constantes desaparecem). - A derivada de
em relação a é (a derivada de é 2, e é constante).
Passo 4
Aplicando a regra da derivada da divisão que mencionamos:
Vamos simplificar o numerador agora.
Passo 5
Simplificando o numerador passo a passo:
Subtraindo esses resultados:
Passo 6
Agora, colocamos tudo de volta na fórmula da derivada:
Resposta
A derivada da função é
.
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Nos itens abaixo, sabe-se que os limites existem. Calcule-os.
b)
b)
Mostre que as funções abaixo são analíticas em domínios apropriados.
c)
c)
Nos itens abaixo, mostre que a função indicada não é analítica em nenhum lugar.
d)
d)
Determine constantes reais
e
de modo que a função indicada seja analítica.
a)
a)