Nos itens abaixo, mostre que a função indicada não é analítica em nenhum lugar.
d)
d)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função
não é analítica em nenhum lugar. Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente as equações de Cauchy-Riemann, que ajudam a determinar se uma função é analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função
, onde
, é analítica em um ponto se ela satisfaz as equações de Cauchy-Riemann nesse ponto. Essas equações são:
onde
.
Passo 3
Vamos identificar as partes real
e imaginária
da nossa função
. Aqui, podemos ver que:
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias para as equações de Cauchy-Riemann:
Passo 5
Vamos verificar se as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
Para que as equações sejam verdadeiras, precisaríamos que
e
, ou seja,
e
.
Passo 6
A única solução para essas equações é o ponto
. Então, a função
só satisfaz as equações de Cauchy-Riemann nesse ponto específico.
Passo 7
Para ser analítica, a função precisa ser diferenciável em um entorno aberto de pontos, não apenas em um ponto isolado. Como
só satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em
e não em nenhum entorno ao redor, concluímos que a função não é analítica em nenhum lugar.
Resposta
A função
não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.
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d)
d)
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b)
b)
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e
de modo que a função indicada seja analítica.
a)
a)
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