Nos itens abaixo, mostre que a função indicada não é analítica em nenhum lugar.
d) f(z)=x^2+y^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função não é analítica em nenhum lugar. Para isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente as equações de Cauchy-Riemann, que ajudam a determinar se uma função é analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x , onde , é analítica em um ponto se ela satisfaz as equações de Cauchy-Riemann nesse ponto. Essas equações são:
onde .

Passo 3

Vamos identificar as partes real u(x, y) = x^2 + y^2 e v(x, y) = 0 e imaginária da nossa função . Aqui, podemos ver que:

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias para as equações de Cauchy-Riemann:
partial upartial x = 2x, partial upartial y = 2y
partial vpartial x = 0, partial vpartial y = 0

Passo 5

Vamos verificar se as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas:
partial upartial x = 2x stackrel?= partial vpartial y = 0
partial upartial y = 2y stackrel?= -partial vpartial x = 0
Para que as equações sejam verdadeiras, precisaríamos que e , ou seja, e .

Passo 6

A única solução para essas equações é o ponto . Então, a função só satisfaz as equações de Cauchy-Riemann nesse ponto específico.

Passo 7

Para ser analítica, a função precisa ser diferenciável em um entorno aberto de pontos, não apenas em um ponto isolado. Como só satisfaz as equações de Cauchy-Riemann em e não em nenhum entorno ao redor, concluímos que a função não é analítica em nenhum lugar.

Resposta

A função não é analítica em nenhum ponto do plano complexo.

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