Explique qual a condição para calcularmos a distância entre dois planos. E entre uma reta e um plano?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para explicar as condições necessárias para calcular a distância entre dois planos e entre uma reta e um plano. A gente vai trabalhar com Geometria Analítica, especificamente com equações de planos e retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como as equações dos planos e das retas são representadas e quais critérios determinam se conseguimos calcular essa distância.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a distância entre dois planos. Para que possamos calcular essa distância, os planos precisam ser paralelos. Isso significa que as normais dos planos (os vetores perpendiculares) devem ser proporcionais. Se os planos têm as mesmas direções normais, a distância entre eles pode ser medida de forma consistente.
Passo 3
A equação geral de um plano é dada por:
onde
é o vetor normal ao plano. Se temos dois planos com vetores normais iguais ou múltiplos, ou seja,
(com
sendo um escalar), então os planos são paralelos e podemos calcular a distância entre eles.
Passo 4
Agora, vamos para a distância entre uma reta e um plano. Para que essa distância seja definida, a reta não pode ser paralela ao plano. Isso quer dizer que o vetor diretor da reta não pode ser paralelo ao vetor normal do plano. Se a reta é paralela ao plano, ou seja, se o vetor diretor da reta é perpendicular ao vetor normal do plano, a distância não está bem definida porque a reta pode não intersectar o plano.
Passo 5
A equação paramétrica de uma reta geralmente é:
onde
é um ponto da reta e
é o vetor diretor. E a equação do plano é:
Para calcular a distância, precisamos verificar que
não é perpendicular a
. Se não for, podemos usar projeções para encontrar a distância mínima entre a reta e o plano.
Resposta
Para calcular a distância entre dois planos, eles precisam ser paralelos, ou seja, suas normais devem ser proporcionais. Já para calcular a distância entre uma reta e um plano, a reta não pode ser paralela ao plano. Se essas condições forem atendidas, podemos usar as fórmulas apropriadas para encontrar as distâncias desejadas.
Exercícios relacionados
Determine constantes reais
e
de modo que a função indicada seja analítica.
a)
a)
Nos itens abaixo, mostre que a função indicada não é analítica em nenhum lugar.
d)
d)
Use as regras de derivação para determinar as derivadas das funções abaixo.
b)
b)
Determine os pontos nos quais a função indicada não será analítica.
c)
c)