Determine as constantes reais e de modo que a função seja inteira.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar os valores das constantes reais e para que a função seja inteira. Isso envolve o estudo de funções complexas e, especificamente, a condição de ser inteira significa que a função é holomorfa em todo o plano complexo. Para resolver isso, vamos utilizar as Equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para verificar se uma função é diferenciável no sentido complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em suas partes real e imaginária. Assim, temos:
onde:
Aqui, é a parte real e é a parte imaginária da função .

Passo 3

Agora, para que a função seja inteira, precisamos que as Equações de Cauchy-Riemann sejam satisfeitas em todos os pontos do plano complexo. Essas equações são:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de :
E agora, as derivadas parciais de :

Passo 5

Substituindo as derivadas nas Equações de Cauchy-Riemann, temos:
Resolvendo essas equações:

Resposta

As constantes que tornam a função inteira são e .

Exercícios relacionados

Utilizando a definição anterior, sem substituir por um valor numérico, prove que:
Se , então .
Tendo como base o exemplo anterior, calcule a velocidade instantânea de uma partícula que se movimenta com função posição .
Utilizando a definição anterior, sem substituir por um valor numérico, prove que:
Se , então
Determine em que pontos a função é diferenciável.