Determine as constantes reais
e
de modo que a função
seja inteira.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar os valores das constantes reais
e
para que a função
seja inteira. Isso envolve o estudo de funções complexas e, especificamente, a condição de ser inteira significa que a função é holomorfa em todo o plano complexo. Para resolver isso, vamos utilizar as Equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais para verificar se uma função é diferenciável no sentido complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função
em suas partes real e imaginária. Assim, temos:
onde:
Aqui,
é a parte real e
é a parte imaginária da função
.
Passo 3
Agora, para que a função seja inteira, precisamos que as Equações de Cauchy-Riemann sejam satisfeitas em todos os pontos do plano complexo. Essas equações são:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de
:
E agora, as derivadas parciais de
:
Passo 5
Substituindo as derivadas nas Equações de Cauchy-Riemann, temos:
Resolvendo essas equações:
Resposta
As constantes que tornam a função inteira são
e
.
Exercícios relacionados
Utilizando a definição anterior, sem substituir
por um valor numérico, prove que:
Se , então
.
Se
Tendo como base o exemplo anterior, calcule a velocidade instantânea
de uma partícula que se movimenta com função posição
.
Utilizando a definição anterior, sem substituir
por um valor numérico, prove que:
Se , então
Se
Determine em que pontos a função
é diferenciável.