Utilizando a definição anterior, sem substituir por um valor numérico, prove que:
Se , então

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para provar que, se a posição de um objeto é dada por , então a velocidade nesse instante é . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a definição de velocidade como a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a velocidade é definida como a taxa de variação da posição em relação ao tempo . Matematicamente, isso é representado pela derivada de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a . Usando a regra básica de derivação, sabemos que:
Aplicando isso para :

Passo 4

Com a derivada calculada, podemos agora substituir o instante específico para encontrar a velocidade naquele momento:

Resposta

Portanto, se , então .

Exercícios relacionados

Determine as constantes reais e de modo que a função seja inteira.
Utilizando a definição anterior, sem substituir por um valor numérico, prove que:
Se , então .
Determine em que pontos a função é diferenciável.
Determine um domínio em que a função dada é diferenciável.
(b)