Tendo como base o exemplo anterior, calcule a velocidade instantânea de uma partícula que se movimenta com função posição .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular a velocidade instantânea de uma partícula cuja posição em função do tempo é dada por , onde . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a derivada da função posição, que nos dará a velocidade.

Passo 2

A velocidade instantânea de uma partícula é a taxa de variação da sua posição em relação ao tempo. Isso significa que a velocidade é a derivada da função posição em relação ao tempo . Matematicamente, isso é representado por:

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Aplicando as regras de derivação: Sabemos que a derivada de é e que a derivada de é 1. Então: Portanto, a função velocidade é:

Passo 4

Agora, queremos saber a velocidade instantânea no instante . Basta substituir na função velocidade:

Resposta

A velocidade instantânea no instante é unidades de velocidade por unidade de tempo.

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Considere a função . Faça o gráfico e marque nele o ponto .
Utilizando a Identidade Binomial tente provar que, se a função posição é do tipo , então a velocidade pode ser calculada a qualquer instante pela fórmula
Utilizando a definição anterior, sem substituir por um valor numérico, prove que: Se , então .
Determine as constantes reais e de modo que a função seja inteira.