Determine em que pontos a função é diferenciável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais pontos a função é diferenciável. Isso está ligado ao conteúdo de diferenciabilidade de funções de variável complexa. Para resolver, vamos precisar usar as equações de Cauchy-Riemann, que ajudam a verificar se uma função é diferenciável em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função em termos de , onde e são números reais, e é o conjugado de . Então:

Passo 3

Vamos separar a expressão exponencial em partes que envolvem e :
Sabemos que , então podemos escrever:
Simplificando os sinais:

Passo 4

Em seguida, multiplicamos os termos para separar as partes real e imaginária. Vamos chamar a parte real de e a imaginária de :

Passo 5

Agora, aplicamos as equações de Cauchy-Riemann. Para uma função ser diferenciável, as seguintes condições devem ser satisfeitas:

Passo 6

Calculando as derivadas parciais:

Passo 7

Igualamos as derivadas conforme as equações de Cauchy-Riemann:
Observamos que ambas as equações são iguais em todos os pontos, ou seja, as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas para qualquer e .

Resposta

A função é diferenciável em todos os pontos do plano complexo .

Exercícios relacionados

Utilizando a definição anterior, sem substituir por um valor numérico, prove que:
Se , então
Determine as constantes reais e de modo que a função seja inteira.
Determine um domínio em que a função dada é diferenciável.
(b)
(a) Determine dois números complexos e tais .