Determine em que pontos a função
é diferenciável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais pontos a função
é diferenciável. Isso está ligado ao conteúdo de diferenciabilidade de funções de variável complexa. Para resolver, vamos precisar usar as equações de Cauchy-Riemann, que ajudam a verificar se uma função é diferenciável em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
em termos de
, onde
e
são números reais, e
é o conjugado de
. Então:
Passo 3
Vamos separar a expressão exponencial em partes que envolvem
e
:
Sabemos que
, então podemos escrever:
Simplificando os sinais:
Passo 4
Em seguida, multiplicamos os termos para separar as partes real e imaginária. Vamos chamar a parte real de
e a imaginária de
:
Passo 5
Agora, aplicamos as equações de Cauchy-Riemann. Para uma função
ser diferenciável, as seguintes condições devem ser satisfeitas:
Passo 6
Calculando as derivadas parciais:
Passo 7
Igualamos as derivadas conforme as equações de Cauchy-Riemann:
Observamos que ambas as equações são iguais em todos os pontos, ou seja, as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas para qualquer
e
.
Resposta
A função
é diferenciável em todos os pontos do plano complexo
.
Exercícios relacionados
Utilizando a definição anterior, sem substituir
por um valor numérico, prove que:
Se , então
Se
Determine as constantes reais
e
de modo que a função
seja inteira.
Determine um domínio em que a função
dada é diferenciável.
(b)
(b)
(a) Determine dois números complexos
e
tais
.