Utilizando a definição anterior, sem substituir t* por um valor numérico, prove que:
Se s(t) = t^4, então v(t*) = 4 t*^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, se a posição s(t) de um objeto é dada por , então a velocidade desse objeto é . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é velocidade no contexto de cálculo. A velocidade instantânea v(t) é a derivada da posição s(t) em relação ao tempo t. Ou seja:
Isso significa que para encontrar a velocidade, precisamos calcular a derivada da função de posição.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função de posição . Então, queremos calcular:

Passo 4

Para encontrar a derivada de , usamos a regra da potência. A regra da potência diz que para qualquer função t^n, a derivada em relação a t é:
Aplicando essa regra ao nosso caso onde :

Passo 5

Então, substituindo t por t*, a velocidade instantânea fica:

Resposta

Portanto, provamos que se , então .

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