Mostre que as funções abaixo são analíticas em domínios apropriados.
b)
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Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos saber para resolver. A gente precisa mostrar que a função é analítica em certos domínios. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser analítica e usar as condições de Cauchy-Riemann que ajudam a verificar se uma função é analítica.
Passo 2
Vamos lembrar que uma função de variável complexa
, onde
, é analítica se ela satisfaz as equações de Cauchy-Riemann:
Além disso, as funções
e
devem ter derivadas parciais contínuas. Então, nosso objetivo é identificar
e
na função dada e verificar se essas condições são satisfeitas.
Passo 3
Identificando as partes real e imaginária da função
, temos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de
e
:
Passo 5
Agora, vamos verificar as condições de Cauchy-Riemann:
Primeira condição:
Para que a primeira condição seja satisfeita, precisamos que:
Simplificando:
Isso implica que
, já que
pode ser diferente de zero. Sabemos que
somente quando
.
Segunda condição:
Para que a segunda condição seja satisfeita:
Dividindo ambos os lados por (desde que ):
A única solução real para essa equação é
.
Passo 6
Concluímos que as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas somente quando
. Portanto, a função
é analítica apenas ao longo do eixo real, onde
.
Resposta
A função é analítica somente no eixo real, ou seja, quando
.