Mostre que as funções abaixo são analíticas em domínios apropriados.
b) f(z)=x+sen x cosh y+i(y+cos x y)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos saber para resolver. A gente precisa mostrar que a função é analítica em certos domínios. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser analítica e usar as condições de Cauchy-Riemann que ajudam a verificar se uma função é analítica.

Passo 2

Vamos lembrar que uma função de variável complexa partial upartial x = partial vpartial y , onde partial upartial y = -partial vpartial x , é analítica se ela satisfaz as equações de Cauchy-Riemann:
Além disso, as funções e devem ter derivadas parciais contínuas. Então, nosso objetivo é identificar e na função dada e verificar se essas condições são satisfeitas.

Passo 3

Identificando as partes real e imaginária da função u(x, y) = x + sen(x) cosh(y) , temos:
v(x, y) = y + cos(x) y
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de partial upartial x = 1 + cos(x) cosh(y) e partial upartial y = sen(x) sinh(y) :
partial vpartial x = -sen(x) y
partial vpartial y = 1 + cos(x)

Passo 5

Agora, vamos verificar as condições de Cauchy-Riemann:
Primeira condição:
partial upartial x = 1 + cos(x) cosh(y)
partial vpartial y = 1 + cos(x)
Para que a primeira condição seja satisfeita, precisamos que:
1 + cos(x) cosh(y) = 1 + cos(x)
Simplificando:
cos(x) cosh(y) = cos(x)
Isso implica que partial upartial y = sen(x) sinh(y) , já que -partial vpartial x = sen(x) y pode ser diferente de zero. Sabemos que sen(x) sinh(y) = sen(x) y somente quando sinh(y) = y .
Segunda condição:
Para que a segunda condição seja satisfeita:
Dividindo ambos os lados por (desde que ):
A única solução real para essa equação é .

Passo 6

Concluímos que as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas somente quando . Portanto, a função é analítica apenas ao longo do eixo real, onde .

Resposta

A função é analítica somente no eixo real, ou seja, quando .

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