Determine as constantes e tais que a função resulte derivável em e que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as constantes , e na função definida por partes:
Queremos que essa função seja derivável em todos os números reais e que a derivada em seja zero, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar noções de continuidade, derivabilidade de funções por partes e cálculo de derivadas.
Passo 2
Primeiro, para que a função seja contínua em , os valores das duas expressões devem se igualar quando se aproxima de 1. Ou seja, vamos igualar:
Simplificando:
Então, temos a primeira equação: .
Passo 3
Agora, para que a função seja derivável em , além de ser contínua, as derivadas das duas partes também devem ser iguais nesse ponto. Vamos calcular as derivadas de cada parte.
Para :
Para :
Igualando as derivadas em :
Agora temos a segunda equação: .
Passo 4
Além disso, o enunciado nos dá que a derivada em é zero, ou seja, . Vamos usar a derivada da primeira parte para isso.
Para :
Então, em :
Isso nos dá a terceira equação: .
Passo 5
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Sabemos que . Substituindo esse valor nas outras equações: