Determine as constantes a, b e c tais que a função f(x) = { a x² + b x + c, se x < 1, x² - 5 x + 6 se x ≥ 1 } resulte derivável em R e que f'(0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as constantes , e na função definida por partes:
Queremos que essa função seja derivável em todos os números reais e que a derivada em seja zero, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar noções de continuidade, derivabilidade de funções por partes e cálculo de derivadas.

Passo 2

Primeiro, para que a função seja contínua em , os valores das duas expressões devem se igualar quando se aproxima de 1. Ou seja, vamos igualar:
Simplificando:
Então, temos a primeira equação: .

Passo 3

Agora, para que a função seja derivável em , além de ser contínua, as derivadas das duas partes também devem ser iguais nesse ponto. Vamos calcular as derivadas de cada parte.
Para :
Para :
Igualando as derivadas em :
Agora temos a segunda equação: .

Passo 4

Além disso, o enunciado nos dá que a derivada em é zero, ou seja, . Vamos usar a derivada da primeira parte para isso.
Para :
Então, em :
Isso nos dá a terceira equação: .

Passo 5

Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Sabemos que . Substituindo esse valor nas outras equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Agora, substituindo na equação :

Resposta

As constantes são , e .

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