Usando a definição de limite prove que:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que o limite de
quando
se aproxima de -2 é igual a 4. Aqui, estamos trabalhando com definição de limite, uma base fundamental no cálculo. Vamos precisar usar a definição formal de limite, que envolve os conceitos de
(epsilon) e
(delta), para mostrar que para todo
, existe um
tal que se
, então
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de limite: dizemos que
se, para todo
, podemos encontrar um
tal que sempre que
, então
.
No nosso caso,
,
e
. Então, precisamos mostrar que:
Passo 3
Vamos trabalhar com a expressão
:
Mas, como estamos considerando
próximo de -2, vamos tentar relacionar
com
. No entanto, isso pode complicar, então uma abordagem mais direta é manipular
:
Queremos que isso seja menor que
. Para facilitar, podemos restringir
a um intervalo menor que 1, por exemplo, e encontrar uma relação entre
e
.
Passo 4
Vamos supor que
. Isso implica que
está entre -3 e -1:
Assim,
nos dá um controle sobre o valor de
, e podemos usar isso para limitar
. Observando que:
Portanto,
quando
.
Passo 5
Agora, voltando a
:
Queremos que
. Então:
Passo 6
Agora, juntando tudo, escolhemos
como o mínimo entre 1 e
:
Assim, se
, então:
Resposta
Portanto,
.