Usando a definição de limite prove que:
c) lim x -2 x^2=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que o limite de quando se aproxima de -2 é igual a 4. Aqui, estamos trabalhando com definição de limite, uma base fundamental no cálculo. Vamos precisar usar a definição formal de limite, que envolve os conceitos de (epsilon) e (delta), para mostrar que para todo , existe um tal que se , então .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de limite: dizemos que forall varepsilon > 0, exists de 0 tal que se 0 < |x + 2| < de se, para todo , podemos encontrar um tal que sempre que , então .
No nosso caso, , e . Então, precisamos mostrar que:
ã

Passo 3

Vamos trabalhar com a expressão |x^2 - 4| = |(x - 2)(x + 2)| :
|x^2 - 4| = |x - 2||x + 2|
Mas, como estamos considerando próximo de -2, vamos tentar relacionar com . No entanto, isso pode complicar, então uma abordagem mais direta é manipular :
Queremos que isso seja menor que . Para facilitar, podemos restringir a um intervalo menor que 1, por exemplo, e encontrar uma relação entre e .

Passo 4

Vamos supor que -3 < x < -1 . Isso implica que |x - 2| = |x + 2 - 4| <= |x + 2| + 4 < 1 + 4 = 5 está entre -3 e -1:
Assim, nos dá um controle sobre o valor de , e podemos usar isso para limitar . Observando que:
Portanto, quando .

Passo 5

Agora, voltando a |x^2 - 4| = |x - 2||x + 2| < 5|x + 2| :
5|x + 2| < varepsilon Rightarrow |x + 2| < varepsilon5
Queremos que . Então:

Passo 6

Agora, juntando tudo, escolhemos de como o mínimo entre 1 e |x^2 - 4| < varepsilon :
Assim, se , então:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados